lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 19 Determinantes 247
arbitrários, tem-se
logo g = f.
g(u,v,w) = g( ∑ x i u i , ∑ y j u j , ∑ z k u k )
= ∑ x i y j z k g(u i ,u j ,u k )
= ∑ a ijk x i y j z k = f(u,v,w),
Corolário. O espaço vetorial L r (E;R) das formas r-lineares
f: E×···×E → R tem dimensão n r .
Com efeito, uma vez fixada a base U ⊂ E, o Teorema 19.1 faz
corresponder, biunivocamente, a cada f ∈ L r (E;R) os n r números a J .
Isto determina um isomorfismo entre L r (E;R) e R nr .
Uma formar-linearf: E×···×E → R chama-se alternada quando
f(v 1 ,...,v r ) = 0 sempre que a lista (v 1 ,...,v r ) tiver repetições, ou
seja, quando
f(v 1 ,...,v i−1 ,v,v i+1 ,...,v j−1 ,v,v j+1 ,...,v r ) = 0
para quaisquer v,v 1 ,...,v r ∈ E.
Teorema 19.2. Uma forma r-linear f: E × ··· × E → R é alternada
se, e somente se, é anti-simétrica, isto é,
f(v 1 ,...,v i ,...,v j ,...,v r ) = −f(v 1 ,...,v j ,...,v i ,...,v r )
para quaisquer v 1 ,...,v r ∈ E.
Demonstração: Por simplicidade, escrevamos
f(v 1 ,...,u,...,v,...,v r ) = ϕ(u,v).
Então, f alternada implica ϕ(u,u) = ϕ(v,v) = ϕ(u + v,u + v) = 0,
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0 = ϕ(u+v,u+v) = ϕ(u,u)+ϕ(u,v)+ϕ(v,u)+ϕ(v,v)
= ϕ(u,v)+ϕ(v,u),
portanto ϕ(u,v) = −ϕ(v,u), de modo que f é anti-simétrica. Reciprocamente,
se f é anti-simétrica então ϕ(v,v) = −ϕ(v,v) logo
2ϕ(v,v) = 0, ϕ(v,v) = 0 e f é alternada.