lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 13 Operadores Auto-Adjuntos 161
Observação. Vale a recíproca do Teorema Espectral: se existe uma
base ortonormal {u 1 ,...,u n } ⊂ E formada por autovetores do operador
A: E → E então este operador é auto-adjunto. Com efeito, para
quaisquer i,j = 1,...,n, tem-se
〈Au i ,u j 〉 = 〈λ i u i ,u j 〉 = λ i δ ij = λ j δ ij = 〈u i ,λ j u j 〉 = 〈u i ,Au j 〉
e daí resulta que 〈Au,v〉 = 〈u,Av〉 para quaisquer u,v ∈ E.
Diremos que o operador linear A: E → E é não-negativo, e escreveremos
A ≥ 0, quando A for auto-adjunto e, além disso, 〈Av,v〉 ≥ 0
para todo v ∈ E. No caso particular em que 〈Av,v〉 > 0 para todo
v ≠ 0, diremos que A é um operador positivo e escreveremos A > 0.
Teorema 13.7. Um operador auto-adjunto A: E → E é não-negativo
se, e somente se, seus autovalores são todos ≥ 0. A é positivo se, e
somente se, todos os seus autovalores são números positivos.
Demonstração: Se A ≥ 0 e Av = λv com v ≠ 0 então
λ〈v,v〉 = 〈λv,v〉 = 〈Av,v〉 ≥ 0,
portanto λ ≥ 0. Reciprocamente, se os autovalores de A são ≥ 0,
seja {u 1 ,...,u n } ⊂ E uma base ortonormal formada por autovetores
(a qual existe pelo Teorema Espectral), com Au i = λ i u i . Para todo
vetor v ∈ E, tem-se v = α 1 u 1 +···+α n u n , logo
〈Av,v〉 = 〈Σα i Au i ,Σα j u j 〉 = 〈Σα i λ i u i ,Σα j u j 〉 = Σλ i α 2 i .
Como λ i ≥ 0 para i = 1,...,n, segue-se que 〈Av,v〉 ≥ 0, portanto
A ≥ 0. A afirmação sobre operadores positivos se prova da mesma
maneira.
Corolário 1. Seja A ≥ 0. Se, para um certo v ∈ E, vale 〈Av,v〉 = 0
então Av = 0.
Com efeito, sejam λ 1 ,...,λ k os autovalores não-nulos de A. Então,
pondo v = α 1 u 1 +···+α n u n , resulta que Av = λ 1 α 1 u 1 +···+λ k α k u k ,
donde
0 = 〈Av,v〉 = λ 1 α 2 1 +···+λ kα 2 k .
Como λ 1 > 0,...,λ k > 0, segue-se que α 1 = ··· = α k = 0, portanto
Av = 0.