lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 13 Operadores Auto-Adjuntos 157
portanto A ∗ v = (x,2y) = Av e A ∗ = A. Analogamente se mostra
que B ∗ = B. Entretanto, como AB(x,y) = (y,2x), vê-se que, para
v = (x,y), 〈e 1 ,(AB) ∗ v〉 = 〈ABe 1 ,v〉 = 2y, enquanto〈e 1 ,ABv〉 = y, logo
(AB) ∗ ≠ AB, ou seja, o produto AB dos operadores auto-adjuntos
A, B não é auto-adjunto. Isto se dá porque AB ≠ BA. Com efeito,
AB(x,y) = (y,2x) e BA(x,y) = (2y,x).
Exemplo 13.2. A projeção ortogonal P: E → E sobre um subespaço
F ⊂ E é um operador auto-adjunto. Com efeito, dados v = z + w,
v ′ = z ′ +w ′ , com z,z ′ ∈ F e w,w ′ ∈ F ⊥ , temos
〈
Pv,v
′ 〉 = 〈 z,v ′〉 = 〈 z,z ′〉 = 〈 v,z ′〉 = 〈 v,Pv ′〉 .
Reciprocamente, se a projeção P: E → E sobre o subespaço F 1 , paralelamente
a F 2 , onde E = F 1 ⊕F 2 , for um operador auto-adjunto então
para quaisquer v 1 ∈ F 1 , v 2 ∈ F 2 vale
〈v 1 ,v 2 〉 = 〈Pv 1 ,v 2 〉 = 〈v 1 ,Pv 2 〉 = 〈v 1 ,0〉 = 0,
logoF 2 = F ⊥ 1
. Assim, a projeçãoP: E → E é um operador auto-adjunto
se, e somente se, é uma projeção ortogonal.
Uma matriz quadrada a = [a ij ] diz-se simétrica quando é igual à
sua transposta a T , isto é, quando a ij = a ji para todo i e todo j.
No teorema 13.1 é dado um operador linear A: E → E, num
espaço vetorial de dimensão finita, dotado de produto interno.
Teorema 13.1. A: E → E é auto-adjunto se, e somente se, sua matriz
a = [a ij ] relativamente a uma (e portanto a qualquer) base ortonormal
U = {u 1 ,...,u n } ⊂ E é uma matriz simétrica.
Demonstração: 〈u i ,Au j 〉 = [i-ésima coordenada do vetor Au j na
base U] = [i-ésimo elemento da j-ésima coluna de a] = a ij . Portanto
a matriz a é simétrica se, e somente se, 〈u i ,Au j 〉 = 〈Au i ,u j 〉 para
quaisquer i,j = 1,...,n. Devido à linearidade de A e à bilinearidade
do produto interno, isto equivale a dizer que 〈u,Av〉 = 〈Au,v〉 para
quaisquer u,v ∈ E, ou seja, que A é auto-adjunto.
Exemplo 13.3. As matrizes dos operadores A e B do Exemplo 13.1
na base canônica de R 2 são respectivamente
[ ] [ ]
1 0 0 1
a = e b = ,
0 2 1 0