lgebra Linear, Elon Lages Lima

200 Pseudo-inversa Seção 16
Isto nos dá, finalmente:
B + (x,y) = B ∗ (BB ∗ ) −1 (x,y)
= B ∗ (2x+y,x+2y)
= 1 3 (3x,3y,3x+3y),
ou seja, B + (x,y) = (x,y,x+y).
Retomando a transformação A do Exemplo 16.3, vemos que B = A +
e constatamos que (A + ) + = B + = A.
A relação A ++ = A, verificada no caso particular acima, é verdadeira
em geral. Isto pode ser visto facilmente examinando a definição
da transformação A ′ e notando que (A ′ ) ′ = A. Como A ′ = A + , o
resultado segue daí.
Exercícios
16.1. Determine a pseudo-inversa de cada uma das seguintes transformações
lineares:
(a) A transformação nula 0: E → F;
(b) A projeção ortogonal P: E → E sobre o subespaço F;
(c) A mesma projeção acima, considerada como transformação linear
de E sobre F;
(d) A projeção (não-ortogonal) P: R 2 → R 2 , sobre a reta F, paralelamente
à reta G. (Descreva P + geometricamente.)
16.2. Para toda transformação linear A: E → F e todo α ≠ 0, prove
que (α·A) + = 1 α ·A+ .
16.3. Identifique o núcleo e a imagem da pseudo-inversa de uma
transformação linear A: E → F.
16.4. Dada a transformação linear A: E → F, prove que, para todo
w ∈ F, tem-se A + AA ∗ w = A ∗ w.