lgebra Linear, Elon Lages Lima

244 Formas Quadráticas Seção 18
18.14. Dada a forma quadrática ϕ: R 2 → R, com ϕ(x,y) = ax 2 +
bxy+cy 2 , escreva-a como
( ) x 2 ( ] x
ϕ(x,y) = y
[a
2 +b +c
y y)
= y 2 [at 2 +bt+c], t = x/y,
e use o trinômio at 2 + bt + c para obter condições sobre a, b, c que
caracterizam se ϕ é positiva, negativa, indefinida, não-negativa ou
não-positiva.
18.15. Seja A: E → F uma transformação linear invertível. Para
toda forma quadrática ψ: F → R, prove que ϕ = ψ◦A: E → R é uma
forma quadrática em E, com o mesmo índice e o mesmo posto que ψ.
18.16. Prove que todo operador linear invertível A: R n → R n transforma
uma quádrica Σ ⊂ R n noutra quádrica de mesmo tipo.