lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 22 Equações a Diferenças Finitas 313
Escrevemos o número complexo r = α + iβ sob a forma trigonométrica
r = ρ(cos θ + i sen θ). Exatamente como no caso real,
verificamos que a seqüência de números complexos r k = ρ k (coskθ+
i senkθ), k = 0,1,2,..., é solução da equação dada. Mas é óbvio que
se a, b são números reais e a seqüência complexa (z o ,z 1 ,...,z k ,...),
com z k = x k +iy k , é solução da equação z k+2 +az k+1 +bz k = 0 então
sua parte real x k e sua parte imaginária y k cumprem x k+2 +ax k+1 +
bx k = 0 e y k+2 +ay k+1 +by k = 0 respectivamente.
Logo as seqüências x k = ρ k coskθ e y k = ρ k senkθ são soluções
da equação dada. Além disso, como (x o ,x 1 ) = (1,ρcos θ), (y o ,y 1 ) =
(0,ρsen θ) e sen θ ≠ 0 (pois o número r não é real), vemos que
(x o ,x 1 ) e (y o ,y 1 ) formam uma base de R 2 , logo as soluções x k =
ρ k coskθ e y k = ρ k senkθ são linearmente independentes.
Segue-se que a solução geral da equação x k+2 +ax k+1 +bx k = 0,
quando a 2 < 4b, é dada por
x k = ρ k [α coskθ+β senkθ],
onde as constantes α, β podem ser determinadas de modo que x o e
x 1 assumam valores arbitrariamente pré-fixados.
Exemplo 22.11. O polinômio característico da equaçãox k+2 −2x k+1 +
4x k = 0 tem as raízes complexas 1 ± i √ 3. Escrevendo 1 + i √ 3
sob forma trigonométrica, temos, 1 + i √ 3 = 2(cos60 ◦ + i sen60 ◦ ) =
2 ( cos π 3 +i sen π 3)
. A solução geral da equação dada é
x k = 2 k [
α cos kπ 3 +β sen kπ 3
Se quisermos, por exemplo, obter a solução tal que x o = 5, x 1 = 7, os
números α, β devem satisfazer as condições α = 5, β = 2 √ 3/3.
Como se vê, a discussão direta das equações de segunda ordem
(lineares homogêneas, com coeficientes constantes) é bem mais simples
do que o estudo dos sistemas dos quais elas são casos particulares.
]
.
22.D. Equações com Segundo Membro Constante
As equações de que vamos tratar são as do tipo
x k+2 +ax k+1 +bx k = c.