lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 8 A Matriz de uma Transformação Linear 91
logo Av 1 = v 1 e Av 2 = −v 2 . (De resto, estas igualdades são geometricamente
óbvias.) Portanto a matriz de A na base V é
[ ]
a ′ 1 0
= .
0 −1
A matriz de passagem da base canônica de R 2 para a base V é
[ ] 1 −a
p = .
a 1
Segue-se que a ′ = p −1· a·p. Neste caso, foi mais simples calcular a ′
diretamente do que determinar [ p]
−1 e efetuar a multiplicação p −1 ap.
(Observação: p −1 = 1 1 a
.)
1+a 2 −a 1
Seja A: E → F uma transformação linear entre espaços vetoriais
de dimensão finita. O posto de A é a dimensão da sua imagem.
Evidentemente, dim Im(A) ≤ dim F. Além disso, pelo Teorema do
Núcleo e da Imagem, dim Im(A) ≤ dim E. Segue-se que o posto de
A não excede dim E nem dim F. O posto de A é igual à dimensão
de E se, e somente se, A é injetiva. E é igual à dimensão de F se, e
somente se, A é sobrejetiva.
Se a ∈ M(m×n) é a matriz de A relativamente a um par qualquer
de bases U ⊂ E, V ⊂ F, o posto de A é a dimensão do subespaço
de R m gerado pelas colunas de a. Logo, o posto de A é o número
máximo de colunas linearmente independentes da matriz a.
Esta observação nos leva a definir o posto segundo colunas de
uma matriz a ∈ M(m×n) como o número máximo de colunas linearmente
independentes em a. Este número é igual à dimensão do
subespaço vetorial de R m gerado pelos vetores-coluna de a. (Espaçocoluna
de a.)
De maneira análoga, definimos o posto segundo linhas da matriz
a ∈ M(m×n) como o número máximo de linhas L.I. em a, ou seja,
como a dimensão do subespaço vetorial de R n gerado pelos vetoreslinha
da matriz a. (Espaço-linha de a.)
Embora o espaço-coluna e o espaço-linha da matriz a sejam subespaços
de espaços vetoriais diferentes, vale o resultado seguinte:
Teorema 8.2. Para toda matriz a ∈ M(m × n), o posto segundo
linhas e o posto segundo colunas são iguais.