lgebra Linear, Elon Lages Lima

326 A Forma Canônica de Jordan Apêndice
subespaço cíclico de dimensão 2 e cada w l (l = 1,...,r) gera um
subespaço cíclico de dimensão 1 (o que significa Aw 1 =···=Aw l =0).
O resultado fundamental sobre operadores nilpotentes é o
Teorema A1.2. Seja A: E → E um operador nilpotente de índice k
num espaço vetorial de dimensão n. Existem inteiros k 1 = k ≥ k 2 ≥
··· ≥ k r > 0, tais que E = F 1 ⊕···⊕F r , onde cada F i é um subespaço
cíclico de dimensão k i .
Evidentemente, k 1 +···+k r = n.
Tomando em cada F i (i = 1,...,r) uma base V i = {u i ,Au i ,...,
A k i−1 u i }, obtemos uma base V = V 1 ∪ ... ∪ V r , em relação à qual
a matriz de A é formada por r blocos a i ∈ M(k i × k i ), ao longo da
diagonal. Cada bloco a i tem a forma vista no Exemplo 2: para j < k i
sua j-ésima coluna é e j+1 ∈ R k i
enquanto sua k i -ésima coluna é zero.
A2. Existência da Forma Canônica de Jordan.
Dado um operador linear A: E → E num espaço vetorial complexo
de dimensão finita, provaremos que existe uma base em E na qual a
matriz de A tem a forma canônica de Jordan: é triangular inferior,
os auto-valores que formam sua diagonal são repetidos consecutivamente
de acordo com suas multiplicidades algébricas e, além disso,
os elementos imediatamente abaixo da diagonal são iguais a 0 ou 1;
todos os demais elementos são nulos.
Teorema A2.1. Seja A: E → E um operador linear num espaço vetorial
(real ou complexo) de dimensão finita. Existe uma decomposição
E = F⊕G, como soma direta de subespaços invariantes F, G tais que
A é nilpotente em F e invertível em G.
Demonstração: Como a dimensão de E é finita, a seqüência de subespaços
invariantes
E ⊃ Im(A) ⊃ Im(A 2 ) ⊃ ...
não pode ser estritamente decrescente para sempre. Seja então k o
menor número natural tal que Im(A k ) = Im(A k+1 ). Afirmamos que
então Im(A k+1 ) = Im(A k+2 ). Com efeito,
Im(A k+2 ) = A[Im(A k+1 )] = A[Im(A k )] = Im(A k+1 ).