lgebra Linear, Elon Lages Lima

Apêndice A Forma Canônica de Jordan 329
Se pusermos
q i (λ) = ∏ j≠i
(λ−λ j ) n j
,
obteremos os polinômios q 1 (λ),...,q r (λ), primos entre si. Por um
conhecido teorema de Álgebra, existem polinômios m 1(λ),...,m r (λ)
tais que
m 1 (λ)q 1 (λ)+···+m r (λ)q r (λ) = 1.
Segue-se que
Assim, para todo v ∈ E, tem-se
m 1 (A)q 1 (A)+···+m r (A)q r (A) = I.
v = v 1 +···+v r , v i = m i (A)q i (A)v.
Pelo Teorema de Cayley-Hamilton, temos
A n i
i
·q i (A) = (A−λ i I) ni · ∏
(A−λ j I) n j
=
j≠i
r∏
(A−λ j I) n j
= p A (A) = 0.
j=1
Logo A n i
i
v i = 0, ou seja v i ∈ E i para todo i = 1,...,r. Isto conclui a
demonstração do teorema.
□
Teorema A2.4. Os subespaços E i = N[(A − λ i I) n i] definidos no
Teorema A2.3 são invariantes por qualquer operador B: E → E que
comute com A.
Demonstração: AB = BA ⇒ (A − λ i I)B = B(A − λ i I) ⇒
⇒ (A − λ i I) n i
B = B(A − λ i I) n i
. Logo v ∈ E i ⇒ (A − λ i I) n i
Bv =
B(A−λ i I) n i
v = B·0 = 0 ⇒ Bv ∈ E i .
□
Corolário. Os subespaços E 1 ,...,E r são invariantes por A.
Um bloco de Jordan n × n é uma matriz triangular inferior da
forma
⎡ ⎤
λ
1 λ
B(λ;n) =
1 . . .
⎢
⎣
. ..
⎥
λ ⎦
1 λ