lgebra Linear, Elon Lages Lima

192 Operadores Normais (Caso Real) Seção 15
Corolário. Seja A: E → E um operador anti-simétrico. Existe uma
base ortonormal deErelativamente à qual a matriz deAtem a forma
⎡
⎤
0
. .. 0
0 −β 1
β 1 0
. .. ⎢
⎥
⎣
0 −β s
⎦
β s 0
Segue-se imediatamente que o posto de um operador anti-simétrico
é um número par.
Exemplo 15.4. Seja A: R 3 → R 3 um operador anti-simétrico. Pelo
corolário acima, existe uma base ortonormal {u 1 ,u 2 ,u 3 } ⊂ R 3 tal que
Au 1 = 0, Au 2 = −βu 3 e Au 3 = βu 2 . Em termos do produto vetorial
clássico de R 3 , podemos escolher o sinal de u 1 de modo que se tenha
u 1 ×u 2 = u 3 e u 3 ×u 1 = u 2 . Então, se pusermos w = βu 1 , teremos
0 = Au 1 = u 1 × w, Au 2 = −βu 3 = β(u 2 × u 1 ) = u 2 × w e Au 3 =
βu 2 = β(u 3 ×u 1 ) = u 3 ×w. Assim, A coincide com o operador linear
v ↦→ v×w nos vetores básicos u 1 , u 2 , u 3 . Concluímos que, para todo
v ∈ R 3 , vale Av = v × w. Em resumo: todo operador anti-simétrico
no espaço R 3 consiste no produto vetorial por um vetor fixo w ∈ R 3 .
Exercícios
15.1. Seja A = B + C a decomposição do operador A como soma do
operador auto-adjuntoBcom o operador anti-simétricoC. Prove que
A é normal se, e somente se, BC = CB.
15.2. Prove que os operadores auto-adjuntos S,T: E → E são iguais
se, e somente se, 〈Sv,v〉 = 〈Tv,v〉 para todo v ∈ E. Use este fato para
provar que A: E → E é normal se, e somente se, |Av| = |A ∗ v| para
todo v ∈ E.
15.3. Se dim E = n e o operador normal A: E → E tem n autovalores
distintos, prove que A é auto-adjunto.