lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 22 Equações a Diferenças Finitas 307
onde
ρ = √ λ 2 +µ 2 , cos θ = λ/ρ, sen θ = µ/ρ.
Depois de obtidos λ, µ, a base {u,v} se determina resolvendo o
sistema Au = λu−µv, Av = µu+λv, de 4 equações com 4 incógnitas
que são as coordenadas dos vetores u = (x,y) e v = (s,t). Em termos
dessas coordenadas, o sistema se escreve como
ou
ax+by = λx−µs
cx+dy = λy−µt
as+bt = µx+λs
cs+dt = µy+λt
(a−λ)x +by +µs = 0
cx +(d−λ)y +µt = 0
−µx +(a−λ)s +bt = 0
−µy +cs +(d−λ)t = 0.
Exemplo 22.7. Consideremos o sistema x k+1 = 3x k − y k , y k+1 =
2x k + y k , com vetor inicial v o = (1,1). Ele nos fornece o operador
A: R 2 → R 2 , A(x,y) = (3x−y,2x+y), cuja matriz na base canônica
é
[ ] 3 −1
,
2 1
logo o polinômio característico é p(λ) = λ 2 −4λ+5, cujas raízes são
2±i. Existe uma base {u,v} ⊂ R 2 , com u = (x,y), v = (s,t), tal que
Au = 2u−v, Av = u+2v. Para obter esta base, devemos achar uma
solução não-nula do sistema
3x−y = 2x−s
2x+y = 2y−t
3s−t = x+2s
2s+t = y+2t
ou seja
x−y +s = 0
2x−y +t = 0
−x +s −t = 0
−y +2s −t = 0.