lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 21 Espaços Vetoriais Complexos 285
1. 〈u,v〉 = 〈v,u〉;
2. 〈u+u ′ ,v〉 = 〈u,v〉+〈u ′ ,v〉;
3. 〈ζu,v〉 = ζ〈u,v〉;
4. 〈u,u〉 > 0, se u ≠ 0.
Das propriedades 1. e 2. segue-se que 〈u,v+v ′ 〉 = 〈u,v〉+〈u,v ′ 〉.
Com efeito,
〈
u,v+v
′ 〉 = 〈v+v ′ ,u〉 = 〈v,u〉+〈v ′ ,u〉 = 〈v,u〉+〈v ′ ,u〉
= 〈u,v〉+ 〈 u,v ′〉 .
Analogamente se mostra que 1. e 3. implicam que 〈u,ζv〉 =
ζ〈u,v〉. Assim, o produto interno hermitiano é sesqui-linear, ou seja,
linear na primeira variável e anti-linear na segunda. Segue-se de 1.
que 〈u,v〉 = 〈v,u〉 ⇔ 〈u,v〉 ∈ R.
Exemplo 21.3. No espaçoC n , o produto interno canônico é definido,
para u = (ξ 1 ,...,ξ n ) e v = (ζ 1 ,...,ζ n ), como
〈u,v〉 = ξ 1 ζ 1 +···+ξ n ζ n .
As 4 propriedades acima são imediatamente verificadas de modo que
se trata de um produto interno hermitiano.
Exemplo 21.4. Seja E = C 0 ([a,b];C) o espaço vetorial complexo
formado pelas funções contínuasf: [a,b] → C, definidas no intervalo
[a,b] e tomando valores complexos. Um produto interno hermitiano
em E pode ser definido pondo
〈f,g〉 =
∫ b
a
f(x)g(x)dx,
para f,g ∈ E quaisquer.
Exemplo 21.5. Em todo espaço vetorial complexo E, de dimensão
finita, pode-se introduzir um produto interno hermitiano. (Na realidade,
uma infinidade deles.) Basta tomar uma base {u 1 ,...,u n } ⊂ E
e, para dois vetores
u = ∑ ξ k u k , v = ∑ ζ k u k