lgebra Linear, Elon Lages Lima

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Operadores Ortogonais
Sob o ponto de vista da organização geral da Matemática, os operadores
ortogonais são os automorfismos da estrutura de espaço vetorial
com produto interno, ou seja, são as simetrias dessa estrutura.
Do ponto de vista mais pedestre em que nos colocamos, os operadores
ortogonais são aqueles para os quais se podem obter as matrizes mais
simples, depois dos auto-adjuntos. Eles possuem as propriedades
geométricas mais marcantes, muitas das quais lhes são exclusivas.
(Vide Teorema 14.1.) Nesta seção consideramos, mais geralmente, as
transformações lineares ortogonais de um espaço noutro e as matrizes
ortogonais não-quadradas. Obtemos a forma mais simples que
pode assumir a matriz de um operador ortogonal e concluímos demonstrando
que todo operador é o produto de um não- negativo por
um ortogonal (forma polar).
Nesta seção, estenderemos para espaços vetoriais com produto
interno a noção de congruência entre figuras da Geometria Elementar.
Lembramos que uma congruência entre duas figuras X, Y é uma
bijeção f: X → Y que preserva distâncias, isto é, tal que
d(f(x),f(x ′ )) = d(x,x ′ ) para quaisquer x,x ′ ∈ X. Note-se que,
embora não garanta a sobrejetividade, a propriedade de preservar
distâncias já assegura que f é injetiva pois f(x) = f(x ′ ) ⇒ d(x,x ′ ) =
d(f(x),f(x ′ )) = 0 ⇒ x = x ′ .