lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 14 Operadores Ortogonais 183
respectivamente pelos blocos
[ ]
cos 0 − sen 0
sen 0 cos 0
ou
[ ]
cos π − sen π
sen π cos π
.
Corolário. Se E tem dimensão ímpar, todo operador ortogonal
A: E → E possui um autovetor v, com Av = v ou Av = −v.
Exemplo 14.5. Seja A: R 3 → R 3 um operador ortogonal no espaço
euclidiano tri-dimensional. Se A ≠ ±I então existe uma base ortonormal
{u 1 ,u 2 ,u 3 } ⊂ R 3 em relação à qual a matriz de A tem uma
das quatro formas abaixo:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 0 0 1 0 0
⎣0 1 0 ⎦ , ⎣0 −1 0 ⎦ ,
0 0 −1 0 0 −1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 0 0
⎣0 cos α − sen α
0 sen α cos α
⎦ ,
−1 0 0
⎣ 0 cos α − sen α
0 sen α cos α
No primeiro caso A é a reflexão em torno do plano que contém os
vetores u 1 , u 2 (paralelamente a u 3 ). No segundo caso, A é a reflexão
em torno do eixo que contém u 1 ou, o que é o mesmo, a rotação de
180 ◦ em torno desse eixo. No terceiro caso, A é a rotação de ângulo
α em torno do eixo que contém u 1 . No último caso, A é essa rotação
seguida da reflexão em torno do plano que contém u 2 e u 3 . Estas
quatro possibilidades, mais A = I e A = −I, esgotam todos os tipos
de operadores ortogonais em R 3 .
Teorema 14.4. Seja E um espaço vetorial de dimensão finita, munido
de produto interno. Todo operador linear A: E → E admite
uma decomposição da forma A = PU, onde U: E → E é ortogonal e
P: E → E é não-negativo.
Demonstração: De acordo com o Teorema 13.10, existem bases ortonormais
{u 1 ,...,u n } ⊂ E, {v 1 ,...,v n } ⊂ E e números λ i ≥ 0 tais que
Au i = λ i v i para i = 1,...,n. Definamos os operadores P,U: E → E
impondo quePv i = λ i v i eUu i = v i . Evidentemente,Pé auto-adjunto,
≥ 0, U é ortogonal e PU = A.
A expressão A = PU chama-se uma decomposição polar do operador
A, por analogia com a forma polar z = re iθ de um número
⎦ .