lgebra Linear, Elon Lages Lima

136 A Adjunta Seção 11
Demonstração: Por definição de matriz de uma transformação linear,
temos
m∑
Au j = a ij v i (j = 1,...,n)
e
i=1
A ∗ v i =
n∑
b ri u r ,
r=1
onde b = [b ri ] ∈ M(n × m) é a matriz de A ∗ nas bases V, U, a ser
determinada. Como ambas as bases são ortonormais, temos, para
cada i = 1,...,m e cada j = 1,...,n:
b ji = 〈u j ,A ∗ v i 〉 = 〈Au j ,v i 〉 = a ij
portanto, b = a T , transposta de a.
Corolário. Uma transformação linear A e sua adjunta A ∗ têm o
mesmo posto. (Vide Teorema 8.2.)
É apresentada a seguir uma lista de propriedades operacionais
da adjunta de uma transformação linear, as quais se traduzem em
propriedades da transposta de uma matriz, via Teorema 11.2. A validez
dessas propriedades decorre da observação de que duas transformações
lineares A,B: E → F são iguais quando se tem 〈Au,v〉 =
〈Bu,v〉 para quaisquer u ∈ E, v ∈ F.
I ∗ = I
(A+B) ∗ = A ∗ +B ∗
(αA) ∗ = αA ∗
(BA) ∗ = A ∗ B ∗
A ∗∗ = A
(I n ) T = I n
(a+b) T = a T + b T
(αa) T = αa T
(ba) T = a T b T
(a T ) T = a
Se A: E → F é uma transformação linear injetiva então existe
B: F → E tal que BA = I E (vide Teorema 6.5). Tomando a adjunta
de ambos os membros desta igualdade, temos A ∗ B ∗ = I E . Assim
A ∗ : F → E possui uma inversa à direita B ∗ , logo é sobrejetiva. (Teorema
6.1.) Do mesmo modo se vê que A sobrejetiva implica A ∗
injetiva. Portanto a adjunta de um isomorfismo A: E → F é um isomorfismoA
∗ : F → E. Além disso, deA −1 A = I E resultaA ∗ (A −1 ) ∗ = I E
logo (A ∗ ) −1 = (A −1 ) ∗ .