lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 17 Tópicos Matriciais 205
indicar o ij-ésimo elemento de uma matriz m):
〈 n
〉
∑ n∑ n∑
g ij = 〈v i ,v j 〉 = a ri u r , a sj u s = a ri a sj h rs
=
r=1
s=1
(
n∑ n
)
∑
a ri h rs a sj =
r=1
s=1
r,s=1
n∑
(a T ) ir (ha) rj = (a T ha) ij
portanto g = a T ha.
Em particular, se tomarmos uma base ortonormal {u 1 ,...,u n } ⊂
E, teremos h = I n , portanto a matriz de Gram g se escreve como
r=1
g = g(v 1 ,...,v k ) = a T · a,
onde a é a matriz das coordenadas dos vetores v j em relação a uma
base ortonormal de E. Daí resultam:
1) Toda matriz de Gram é não-negativa;
2) A matriz de Gram g = g(v 1 ,...,v k ) é positiva (isto é, invertível) se,
e somente se, os vetores v 1 ,...,v k são L.I. .
Reciprocamente, se uma matriz g = [g ij ] ∈ M(k×k) admite uma
decomposição do tipo g = a T · a, onde a = [a ij ] ∈ M(n × k) então,
tomando uma base ortonormal {u 1 ,...,u n } ⊂ E e escrevendo
v j =
n∑
a ij u i (j = 1,...,k),
i=1
obtemos vetores v 1 ,...,v k ∈ E tais que
〈v i ,v j 〉 =
n∑
a ki a kj = (a T · a) ij = g ij ,
k=1
logo g = g(v 1 ,...,v k ) é a matriz de Gram dos vetores v 1 ,...,v k . Isto
leva a mais uma propriedade das matrizes de Gram:
3) Toda matriz não-negativa g = [g ij ] ∈ M(k×k) é a matriz de Gram
de uma lista de vetores v 1 ,...,v k ∈ E.
Com efeito, existe a ∈ M(k×k) simétrica (e não-negativa) tal que
g = a 2 = a T · a (Teorema 13.8).