lgebra Linear, Elon Lages Lima

12 Subespaços Seção 2
0
yv
v
u
w = xu +
yv
xu
Figura 2.1.
Exemplo 2.7. Os chamados vetores canônicos
e 1 = (1,0,0,...,0),
e 2 = (0,1,0,...,0),
.
e n = (0,0,...,0,1)
constituem um conjunto de geradores do espaço R n . Com efeito,
dado v = (α 1 ,...,α n ) ∈ R n , tem-se v = α 1 e 1 + ··· + α n e n . Analogamente,
os monômios 1,x,...,x n ,... (em número infinito) formam
um conjunto de geradores do espaço P dos polinômios reais. Por
sua vez, os n + 1 primeiros deles, a saber, 1,x,...,x n constituem
um conjunto de geradores de P n , espaço vetorial dos polinômios de
grau ≤ n.
Resulta do Exemplo 2.6 que os únicos subespaços vetoriais de R 2
são {0}, as retas que passam pela origem e o próprio R 2 . Com efeito,
seja F ⊂ R 2 um subespaço vetorial. Se F contém apenas o vetor
nulo, então F = {0}. Se F contém algum vetor u ≠ 0 então há duas
possibilidades: ou todos os demais vetores de F são múltiplos de u, e
neste caso F é a reta que passa pela origem e contém u, ou então F
contém, além de u, um outro vetor v que não é múltiplo de u. Neste
caso, F contém todas as combinações lineares xu + yv, logo F = R 2 ,
pelo Exemplo 2.6.