lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 14 Operadores Ortogonais 187
14.16. Seja S: E → E um operador linear invertível que preserva
ângulos, isto é
〈Su,Sv〉
|Su||Sv|
= 〈u,v〉
|u||v|
quando u ≠ 0 e v ≠ 0. Prove que S transforma vetores ortogonais de
mesmo comprimento em vetores ortogonais de igual comprimento.
Conclua que S é uma semelhança.
14.17. Com o produto interno introduzido no Exercício 11.17, prove
que os operadores ortogonais têm norma igual a √ n, onden= dim E.
14.18. Se a decomposição polar de um operador é única, prove que
esse operador é invertível.
14.19. Seja A: R 3 → R 3 dado por A(x,y,z) = (2x + 3y − 6z,6x +
2y + 3z,−3x + 6y + 2z). Mostre que A é uma semelhança de razão
7. Sabe-se que ou existe v ∈ R 3 com Av = 7v ou existe w ∈ R 3
com Aw = −7w. Ache um autovetor de A, complete-o de modo a
obter uma base ortonormal de R 3 e determine a matriz do operador
A nesta base.
14.20. Seja a = [a 1 a 2 ... a n ] ∈ M(1 × n) tal que a 2 1 + ··· + a2 n = 1.
Prove que a T a ∈ M(n × n) é a matriz de uma projeção ortogonal.
Determine a imagem e o núcleo dessa projeção.
14.20. Pode uma matriz ortogonal ser anti-simétrica?
14.21. Seja a uma matriz ortogonal n×n.
(a) Prove que A: M(n×n) → M(n×n), definida por Ax = ax T +
xa T , é uma transformação linear cuja imagem é o conjunto das
matrizes simétricas.
(b) Prove que, dada uma matriz simétrica s ∈ M(n×n), o conjunto
das matrizes x tais que ax T +xa T = s é uma variedade afim de
dimensão n(n−1)/2 no espaço vetorial M(n×n).
14.22. Ache uma matriz ortogonal 4 × 4 cujos elementos são todos
da forma ± 1 2 .