lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 18 Formas Quadráticas 243
18.10. Dados os funcionais lineares f,g: E → R, considere a forma
bilinear f ⊗ g: E × E → R (produto tensorial de f e g) definida por
(f⊗g)(u,v) = f(u)·g(v). Prove as seguintes afirmações:
(a) f⊗g = 0 ⇒ f = 0 ou g = 0.
(b) f⊗g = g⊗f ⇔ um dos funcionais f, g é múltiplo do outro.
(c) Se {f 1 ...,f n } ⊂ E ∗ é uma base então as formas bilineares f i ⊗f j
constituem uma base de B(E×E).
(d) Nas condições do item (c), as formas f i •f j = f i ⊗f j +f j ⊗f i , com
i ≤ j, constituem uma base para o espaço das formas bilineares
simétricas.
(e) Com a notação de (c), as formas f i ∧ f j = f i ⊗ f j − f j ⊗ f i , com
i < j, constituem uma base para o espaço das formas bilineares
anti-simétricas.
18.11. Dada a forma quadrática ϕ: R 2 → R, com ϕ(x,y) = 2x 2 −y 2 +
3xy, ache uma base ortonormal {u,v} ⊂ R 2 e números λ, µ tais que,
para todo vetor w = su+tv ∈ R 2 se tenha ϕ(w) = λs 2 +µt 2 .
18.12. Dada a matriz simétrica
b =
[ ] 4 1
,
1 2
ache uma matriz ortogonal p tal que p T bp seja uma matriz diagonal.
A partir daí obtenha uma base ortonormal{u,v} ⊂ R 2 tal que a forma
quadráticaϕ: R 2 → R, comϕ(x,y) = 4x 2 +2xy+2y 2 se escreva como
ϕ(w) = λs 2 +µt 2 para todo vetor w = su+tv.
18.13. Dadas as formas quadráticas abaixo, use o método de Lagrange
para exprimi-las como somas e diferenças de quadrados e, a
partir daí, determine o índice e o posto de cada uma delas:
(a)
(b)
(c)
(d)
ϕ(x,y) = x 2 +9y 2 +6xy
ψ(x,y) = x 2 +8y 2 +6xy
ξ(x,y,z) = x 2 +2xy+z 2 −3xz+y 2 −2yz
ζ(x,y,z) = 8x 2 +36yz−6y 2 −27z 2 −24xy