lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 6 Núcleo e Imagem 59
Se v 1 ,...,v n geram E os vetores Av 1 ,...,Av n geram Im(A). Seguese
que a dimensão de Im(A) é menor do que ou igual à dimensão
do domínio de A. Este fato será tornado mais preciso a seguir.
(V. Teorema 6.6.)
Exemplo 6.1. Dado um sistema linear demequações anincógnitas
a 11 x 1 +a 12 x 2 +···+a 1n x n = b 1
a 21 x 1 +a 22 x 2 +···+a 2n x n = b 2
.
a m1 x 1 +a m2 x 2 +···+a mn x n = b m ,
seja A: R n → R m a transformação linear cuja matriz nas bases canônicas
de R n e R m é a = [a ij ]. Isto significa, como sabemos, que,
para j = 1,...,n, os vetores
m∑
v j = Ae j = a ij e i = (a 1j ,...,a mj ) ∈ R m
i=1
são os vetores-coluna da matriz a. Em termos da transformação
linear A, o sistema acima pode ser interpretado como o problema
de achar um vetor x = (x 1 ,...,x n ) ∈ R n tal que Ax = b, onde b =
(b 1 ,...,b m ). Portanto o sistema admite solução se, e somente se, o
vetorbpertence à imagem da transformação linearA, o que equivale
a dizer que os conjuntos {v 1 ,...,v n } e {v 1 ,...,v n ,b} geram ambos o
mesmo subespaço Im(A).
Exemplo 6.2. Um funcional linear f: E → R é sobrejetivo ou é
igual a zero, pois {0} e R são os únicos subespaços vetoriais de R.
A derivação D: C k (R) → C k−1 (R) é sobrejetiva, e o mesmo se dá
com o operador D: C ∞ (R) → C ∞ (R) e com a transformação linear
D: P n → P n−1 . Se P: R 2 → R 2 é a projeção ortogonal sobre uma reta
r, a imagem de P é essa reta r.
Uma transformação linear B: F → E chama-se uma inversa à
direita da transformação linear A: E → F quando se tem AB = I F , ou
seja, quando A(Bw) = w para todo w ∈ F.
Teorema 6.1. A fim de que uma transformação linear A: E → F,
entre espaços vetoriais de dimensão finita, possua uma inversa à direita
B ∈ L(F;E) é necessário e suficiente que A seja sobrejetiva.