lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 20 O Polinômio Característico 269
Se E possui produto interno, o polinômio característico do operador
adjunto A ∗ : E → E coincide com o do operador A pois
p A ∗(λ) = det(A ∗ −λI) = det(A−λI) ∗ = det(A−λI) = p A (λ).
O polinômio característico de uma matriz quadrada a ∈ M(n×n)
é, por definição, p a (λ) = det(a − λI n ), ou seja, é o polinômio característicop
A (λ) do operadorA: R n → R n cuja matriz na base canônica
é igual a a. Mais geralmente, p a (λ) = p A (λ) para qualquer operador
linear A: E → E cuja matriz, relativamente a uma base arbitrária
de E, seja a. (Vide Teorema 19.7.)
Se duas matrizes a e b = p −1 ap são semelhantes então seus
polinômios característicos são iguais. Com efeito, neste caso, a e
b são matrizes do mesmo operador A: R n → R n relativamente a
bases diferentes, logo p a (λ) = p A (λ) = p b (λ). Analogamente, se A e
B = P −1 AP são operadores semelhantes no espaço vetorialE, existem
duas bases de E relativamente às quais A e B têm a mesma matriz
a, logo p A (λ) = p a (λ) = p B (λ).
Exemplo 20.1. Se um dos operadores A,B: E → E (digamos, B)
é invertível então p AB (λ) = p BA (λ). Com efeito, neste caso, BA =
B(AB)B −1 , logo BA e AB são operadores semelhantes. A igualdade
entre os polinômios característicos de AB e BA prevalece, mesmo
quando ambos os operadores, A e B, são não-invertíveis. Isto se
prova usando um argumento de continuidade, assim: como o operador
B tem no máximo um número finito de autovalores positivos,
existe um número real c > 0 tal que 0 < ε < c ⇒ B − εI invertível.
Portanto, para todo ε positivo, menor do que c, os operadores
(B − εI)A e A(B − εI) têm o mesmo polinômio característico.
Como os coeficientes do polinômio característico do operador B − εI
são evidentemente funções contínuas deε, fazendoε → 0 concluímos
que
p AB = lim
ε→0
p A(B−εI) = lim
ε→0
p (B−εI)A = p BA .
Exemplo 20.2. Um operador A: E→E diz-se triangularizável quando
existe uma base U de E em relação à qual a matriz de A é triangular.
Se a matriz deAna baseU = {u 1 ,...,u n } é triangular inferior
então, na base U ′ = {u n ,...,u 1 }, a matriz de A é triangular superior.
Isto significa que existem subespaços F o ⊂ F 1 ⊂ ··· ⊂ F n = E, invariantes
por A, tais que dim F i = i. Se A é triangularizável e, na