lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 10 Produto Interno 121
Exemplo 10.3. Seja E = C o ([a,b]) o espaço vetorial cujos elementos
são as funções contínuas g,f: [a,b] → R. Um produto interno em E
pode ser definido pondo
〈f,g〉 =
∫ b
a
f(x)g(x)dx.
Neste caso, a norma da função f é
√ ∫b
a
|f| =
f(x) 2 dx.
Este produto interno é utilizado no estudo das séries de Fourier.
Observação. Seja E um espaço vetorial de dimensão finita arbitrário.
Dada uma base {u 1 ,...,u n } ⊂ E, podemos definir um produto
interno em E pondo, para u = Σα i u i e v = Σβ i u i , 〈u,v〉 = Σα i β i ,
por definição. Isto mostra que todo espaço vetorial de dimensão finita
pode ser munido de um produto interno. (Fato verdadeiro em
geral, pois qualquer espaço vetorial possui base, mas não entraremos
nesse terreno.) Assim, quando nos referirmos a um espaço munido
de um produto interno, não estaremos com isso atribuindo uma
propriedade especial a esse espaço mas apenas dizendo que, entre
os possíveis produtos internos que nele podem ser introduzidos, um
particular foi escolhido e fixado.
Seja E um espaço vetorial com produto interno. Dois vetores
u,v ∈ E chamam-se ortogonais (ou perpendiculares) quando 〈u,v〉 =
0. Escreve-se, então, u ⊥ v. Em particular, 0 é ortogonal a qualquer
vetor de E. Um conjunto X ⊂ E diz-se ortogonal quando dois vetores
distintos quaisquer em X são ortogonais. Se, além disso, todos os vetores
de X são unitários então X chama-se um conjunto ortonormal.
Portanto, o conjunto X ⊂ E é ortonormal se, e somente se, dados
u,v ∈ X tem-se 〈u,v〉 = 0 se u ≠ v e 〈u,v〉 = 1 se v = u. Uma base
ortonormal é uma base de E que é um conjunto ortonormal.
Teorema 10.1. Num espaço vetorial E com produto interno, todo
conjunto ortogonal X de vetores não-nulos é L.I. .