lgebra Linear, Elon Lages Lima

Apêndice A Forma Canônica de Jordan 325
é uma base de E.
Em relação a esta base V, a matriz do operador nilpotente
A: E → E, de índice 3, é formada por p blocos de matrizes 3 × 3
da forma ⎡ ⎤
0 0 0
⎣1 0 0⎦
0 1 0
ao longo da diagonal, seguidos porqblocos de matrizes2×2 da forma
[ ] 0 0
,
1 0
ainda ao longo da diagonal, e por r colunas de zeros. (Aqui, p é o
posto de A 2 , 2p+q é o posto de A e p+q+r é a dimensão de N(A).)
Eventualmente, pode-se ter q = 0 ou r = 0 (ou ambos). Mas as
três primeiras colunas do operador nilpotenteA, de índice 3, na base
V, devem ser e 2 , e 3 e 0.
A discussão acima assegura, para um operador nilpotente
A: R 5 → R 5 de índice 3, uma base V na qual sua matriz tem uma
das formas seguintes
⎡ ⎤
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
⎢0 1 0 0 0
⎥
⎣0 0 0 0 0⎦ ou
0 0 0 1 0
⎡ ⎤
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
⎢0 1 0 0 0
⎥
⎣0 0 0 0 0⎦ ,
0 0 0 0 0
conforme o posto de A seja 3 ou 2.
O caso geral se trata da mesma maneira. A fim de dar mais
precisão e clareza ao seu enunciado, vamos introduzir uma definição.
Dado um operador nilpotente A: E → E, dizemos que um subespaço
vetorial F ⊂ E é cíclico (em relação a A) quando existe um
vetor u ∈ F tal que A m u = 0 e {u,Au,...,A m−1 u} é uma base de
F. Isto significa que F ⊂ E é um subespaço vetorial de dimensão
m, invariante por A, e que a restrição de A ao subespaço F é um
operador nilpotente de índice m.
Por exemplo, na base V, acima obtida quando analisamos um
operador nilpotente de índice 3, cada um dos vetores u 1 ,...,u p gera
um subespaço cíclico de dimensão 3, cada v j (j = 1,...,q) gera um