lgebra Linear, Elon Lages Lima

310 Equações a Diferenças Finitas Seção 22
sabemos que λ 1 , além de raiz do polinômio p A (λ), é também raiz de
sua derivada p ′ A
(λ). Portanto a identidade
λ k = p A (λ)·q(λ)+αλ+β
fornece a equação αλ 1 +β = λ k 1
enquanto que sua derivada
kλ k−1 = p ′ A (λ)·q(λ)+p A(λ)·q ′ (λ)+α
fornece, em virtude das relaçõesp ′ A (λ 1) = 0 ep A (λ 1 ) = 0, a igualdade
α = k·λ k−1
1
, logo β = λ k 1 (1−k).
22.C. Equações Lineares de Segunda Ordem
Estudaremos apenas as que têm coeficientes constantes. Primeiro
as homogêneas:
x k+2 +ax k+1 +bx k = 0. (*)
Podemos reduzir o estudo da equação acima ao sistema linear de
primeira ordem:
x k+1 = y k
(**)
y k+1 = −bx k −ay k ,
onde foi introduzida a incógnita auxiliar y k = x k+1 . (Em particular,
y o = x 1 .) Usando os métodos do item 22.A, obtemos as seqüências
(x k ) e (y k ), com valores iniciais x o , y o dados. Isto significa que a
equação (*), quando são fixados os valores iniciais x o , x 1 , tem por
solução a seqüência (x k ) que responde ao sistema (**). Com efeito,
temos:
x k+2 = y k+1 = −bx k −ay k = −bx k −ax k+1 .
Portanto x k+2 +ax k+1 +bx k = 0.
Observe que o polinômio característico do sistema (**) é p(λ) =
λ 2 + aλ + b. Isto sugere que, a fim de estudar a equação (*), não é
necessário ter feito anteriormente o estudo dos sistemas lineares.
A seguir, mostraremos como resolver a equação (*), independentemente
de sistemas lineares.
A primeira observação a fazer é que o subconjunto S ⊂ R ∞ , formado
pelas seqüências x = (x o ,x 1 ,...,x k ,...) que são soluções da
equação x k+2 +ax k+1 + bx k = 0, é um subespaço vetorial de dimensão
2.