lgebra Linear, Elon Lages Lima

300 Equações a Diferenças Finitas Seção 22
ros dados. Basta tomar sucessivamente x 2 = f(x 0 ,x 1 ), x 3 = f(x 1 ,x 2 ),
etc. E assim por diante: toda equação de ordem n possui uma única
solução cujos n valores iniciais são fixados arbitrariamente.
Observação. Nesta seção, o primeiro termo de toda seqüência tem
índice 0, em vez de 1.
Exemplo 22.1. A solução da equação de primeira ordem x k+1 =
x k + b com valor inicial x o é a seqüência (x o ,x o + b,x o + 2b,...), de
termo geral x k = x o +kb (progressão aritmética de razão b).
Exemplo 22.2. A equação x k+1 = ax k (linear, homogênea, de primeira
ordem, com coeficiente constante) tem para solução, com valor
inicial x o , a seqüência (x o ,ax o ,a 2 x o ,...,a k x o ,...) cujo termo geral é
x k = a k .x o (progressão geométrica de razão a).
Exemplo 22.3. Combinando os exemplos anteriores, seja x k+1 =
ax k +b a equação linear, não-homogênea, de primeira ordem, com coeficientes
constantes. Se (x o ,x 1 ,...,x k ...) é a solução desta equação
com valor inicial x o , então temos sucessivamente:
x 1 = ax o +b,
x 2 = ax 1 +b = a 2 x o +(1+a)b,
x 3 = ax 2 +b = a 3 x o +(1+a+a 2 )b,
.
x k = ax k−1 +b = a k .x o +(1+a+···+a k−1 )b
Portanto a solução geral da equação x k+1 = ax k +b é
x k = a k .x o + 1−ak ·b, se a ≠ 1
1−a
x k = x o +k·b, se a = 1.
Exemplo 22.4. A equação x k+1 = ax k + b pode ser olhada sob o
ponto de vista de um operador linear A: R ∞ → R ∞ , no espaço R ∞ ,
cujos elementos são as seqüências x = (x o ,x 1 ,...,x k ,...). O operador
A associa a cada seqüência x a nova seqüência y = Ax, onde
y k = x k+1 − ax k . A equação dada equivale ao problema de achar
os elementos x ∈ R ∞ tais que Ax = ^b, onde ^b = (b,b,...) é uma
seqüência constante de termos todos iguais a b. Como vimos no