lgebra Linear, Elon Lages Lima

102 Eliminação Seção 9
das, por exemplo a j-ésima, diferente de zero mas todos os demais
vetores v 2 ,...,v m têm a j-ésima coordenada nula então v 1 não é
combinação linear de v 2 ,...,v m . Resulta então do Teorema 3.2 (ou
melhor, da observação logo após) que se cada um dos vetores nãonulos
w 1 ,...,w r tem uma coordenada diferente de zero e a mesma
coordenada é zero em todos os vetores seguintes a ele nesta lista
então {w 1 ,...,w r } é L.I. .
Exemplo 9.1. Sejam v 1 = (0,1,2,3,4), v 2 = (0,0,1,2,3), e v 3 =
(0,0,0,0,1). Neste caso, a segunda coordenada de v 1 é 1 mas as
segundas coordenadas dev 2 ev 3 são nulas. A terceira coordenada de
v 2 é 1 mas a terceira coordenada de v 3 é zero. Logo {v 1 ,v 2 ,v 3 } ⊂ R 5 é
um conjunto L.I. .
O critério acima enunciado, que garante a independência linear
dos vetores w 1 ,...,w r ∈ R n , pode ser refraseado assim: a primeira
coordenada não-nula de cadaw i tem índice menor do que a primeira
coordenada não-nula dos vetores subseqüentes w i+1 ,...,w r .
Se, para cada i = 1,...,r, escrevermos w i = (a i1 ,...,a in ), teremos
uma matriz a = [a ij ] ∈ M(r × n), cujos r vetores-linha são
w 1 ,...,w r . Diremos que essa matriz é escalonada quando o primeiro
elemento não-nulo de cada uma de suas linhas está à esquerda do
primeiro elemento não-nulo de cada uma das linhas subseqüentes e,
além disso, as linhas nulas (se houver) estão abaixo das demais.
Com esta definição, podemos dizer que as linhas não-nulas de
uma matriz escalonada são vetores linearmente independentes, ou
seja, uma matriz escalonada r×n tem posto r se suas linhas forem
todas diferentes de zero.
Exemplo 9.2. As matrizes abaixo são escalonadas:
⎡ ⎤
1 3 7 2
⎣0 2 5 1⎦
0 0 0 3
⎡ ⎤
0 1 2 3 1
⎢0 0 4 5 2
⎥
⎣0 0 0 6 3⎦ .
0 0 0 0 0
Ambas têm posto 3.
Dados os vetores v 1 ,...,v m ∈ R n , vamos alterá-los passo a passo
de tal modo que, em cada etapa, os vetores obtidos geram o mesmo
subespaço que os da etapa anterior e, no final, os vetores resultantes
formam as linhas de uma matriz escalonada. Os não-nulos dentre