lgebra Linear, Elon Lages Lima

270 O Polinômio Característico Seção 20
base U, sua matriz a = [a ij ] é triangular superior então o polinômio
característico de A é
p A (λ) =
n∏
(a ii −λ).
i=1
Com efeito, a matriz de A − λI na base U também é triangular superior,
com os elementos a ii −λ na diagonal, logo seu determinante
é igual ao produto desses números. (Exemplo 19.5.) Portanto, as
raízes características de um operador triangularizável são todas reais,
logo são autovalores desse operador. Em particular, são reais
as raízes do polinômio característico de uma matriz simétrica (ou, o
que é o mesmo, de um operador auto-adjunto num espaço com produto
interno) pois toda matriz simétrica é semelhante a uma matriz
diagonal, que é certamente triangular.
A noção de polinômio característico permite concluir que se a
dimensão de E é um número ímpar então todo operador linear
A: E → E possui pelo menos um autovalor. Com efeito, o polinômio
característico p A (λ), sendo um polinômio real de grau ímpar, possui
pelo menos uma raiz real.
Quando dim E = 2, sabemos que o polinômio característico do
operadorA: R 2 → R 2 , cuja matriz na base canônica tem linhas(a,b)
e (c,d), é igual a
λ 2 −(a+d)λ+ad−bc,
onde o coeficiente de λ é menos a soma a+d dos elementos da diagonal
dessa matriz e o termo constante, ad−bc, é seu determinante.
Em que pese a importância dos autovalores de A, é uma tarefa
complicada a determinação dos coeficientes de p A quando seu grau
é elevado (e muito mais complicado ainda o cálculo de suas raízes).
Um desses coeficientes é, entretanto, fácil de calcular: o termo independente
de λ é igual a p A (0), logo é igual a det A.
Por outro lado, se as raízes de p A são λ 1 ,...,λ n , tem-se
p A (λ) = (−1) n (λ−λ 1 )···(λ−λ n ).
Pondo λ = 0 vem det A = p A (0) = λ 1 · ··· · λ n . Portanto o determinante
deAéigual ao produto das suas raízes características, mesmo
quando algumas delas são números complexos. (Como p A é um polinômio
real, suas raízes complexas, caso existam, vêm aos pares