lgebra Linear, Elon Lages Lima

50 Transformações Lineares Seção 4
4.28. Seja X = {v 1 ,...,v m } um conjunto L.I. no espaço vetorial E,
de dimensão finita. Dados arbitrariamente os vetores w 1 ,...,w m no
espaço vetorialF, prove que existe uma transformação linearA: E →
F tal que Av 1 = w 1 ,...,Av m = w m . A é única se, e somente se, X é
uma base de E.
4.29. Uma transformação T: E → F, entre espaços vetoriais, chamase
afim quando se temT((1−t)u+tv) = (1−t)Tu+tTv para quaisquer
u,v ∈ E e t ∈ R. Dada a transformação afim T: E → F, prove:
(a) Toda variedade afimV ⊂ E é transformada porT numa variedade
afim V ′ ⊂ F.
(b) Se T · 0 = 0, então, escrevendo αv = (1 − α)0 + αv, resulta que
T(αv) = α·Tv para quaisquer α ∈ R, v ∈ E.
(c) Supondo ainda T · 0 = 0, a relação T ( 1
2 (u+v)) = 1 2
(Tu + Tv),
implica que T(u+v) = Tu+Tv para quaisquer u,v ∈ E.
(d) Para todo b ∈ F, a transformação S: E → F, definida por Sv =
Tv+b também é afim.
Conclua que T: E → F é uma transformação afim se, e somente
se, existem A ∈ L(E;F) e b ∈ F tais que Tv = Av+b para todo v ∈ E.
j=1
4.30. Seja H ⊂ R n um subespaço vetorial de dimensão n − 1.
Tome uma base V ⊂ H, formada pelos vetores v 1 ,...,v n−1 , onde
v i = (α i ,...,α in ), i = 1,...,n − 1. Use o fato de que o sistema de
∑
equações lineares n α ij x j = 0, comn−1 equações enincógnitas, admite
uma solução não-trivial para concluir que existem n números
a 1 ,...,a n tais que v = (x 1 ,...,x n ) pertence a H se, e somente se,
a 1 x 1 +···+a n x n = 0. (Todo subespaço vetorial de R n com dimensão
n − 1 é um hiperplano, isto é, é o conjunto das soluções de uma
equação linear homogênea.)