lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 7 Soma Direta e Projeção 79
Demonstração: Para todow ∈ E, podemos escreverw = u+v, onde
u = (w+Sw)/2 e v = (w−Sw)/2. Como S 2 = I, é claro que Su = u e
Sv = −v, ou seja, u ∈ F 1 e v ∈ F 2 . É claro também que F 1 ∩F 2 = {0} e
que w = u+v ⇒ Sw = u−v se u ∈ F 1 e v ∈ F 2 . Finalmente,
P = 1 2 (S+I) ⇒ P2 = 1 4 (S2 +2S+I)
= 1 4 (2S+2I)
= 1 (S+I) = P.
2
Vê-se facilmente que o núcleo de P é F 2 e a imagem de P é F 1 .
Na situação descrita pelo Teorema 7.3, diz-se que a involução S é
a reflexão em torno do subespaçoF 1 , paralelamente aF 2 . O caso mais
comum de reflexão é aquele em que se tem dim E = n, dim F 1 = n−1
e dim F 2 = 1, de modo que S é a reflexão em torno do hiperplano F 1
paralelamente à reta F 2 .
Exercícios
7.1. No plano R 2 , considere as retas F 1 e F 2 , definidas respectivamente
pelas equações y = ax e y = bx, com a ≠ b. Em seguida:
(1) Exprima cada vetor v = (x,y) ∈ R 2 como soma de um vetor em
F 1 e um vetor em F 2 .
(2) Obtenha a matriz (em relação à base canônica) da projeção
P: R 2 → R 2 , que tem F 1 como núcleo e F 2 como imagem.
(3) Ache a matriz da reflexão S: R 2 → R 2 , em torno da reta F 2 ,
paralelamente a F 1 .
7.2. Se P,Q: E → E são projeções e PQ = QP, prove que PQ é uma
projeção cujo núcleo é N(P)+N(Q) e cuja imagem éIm(P)∩Im(Q).
7.3. Exprima um vetor arbitráriov = (x,y,z) ∈ R 3 como soma de um
vetor do plano F 1 , cuja equação é x+y−z = 0, com um vetor da reta