lgebra Linear, Elon Lages Lima

120 Produto Interno Seção 10
e por outro lado, pelo Teorema de Pitágoras,
|u+v| 2 = |u| 2 +|v| 2 .
Figura 10.1.
Logo 〈u,v〉 = 0. 2 ō ) Se |u| = |v| = 1 então 〈u,v〉 = cos θ. Com
efeito, tomando o vetor unitário u ∗ perpendicular a u temos, pela
definição de seno e cosseno, v = cos θ·u+sen θ·u ∗ . (Fig. 10.2.)
Figura 10.2.
Tomando o produto interno de ambos os membros desta igualdade
por u vem 〈u,v〉 = cos θ · 〈u,u〉 + sen θ · 〈u,u ∗ 〉. Como 〈u,u〉 = 1 e
〈u,u ∗ 〉 = 0 pelo primeiro passo, temos 〈u,v〉 = cos θ. 3 ō ) Caso geral:
pomosu = |u|·u ′ ev = |v|·v ′ , ondeu ′ = (1/|u|)u ev ′ = (1/|v|)v são
vetores unitários. Então 〈u,v〉 = |u||v|〈u ′ ,v ′ 〉 = |u||v| cos θ. Vemos,
em particular, que os vetores u, v formam um ângulo agudo quando
〈u,v〉 > 0, um ângulo obtuso quando 〈u,v〉 < 0 e um ângulo reto
quando 〈u,v〉 = 0.