lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 5 Produto de Transformações Lineares 53
Exemplo 5.3. SejaP: R 2 → R 2 a projeção ortogonal sobre uma certa
reta r. Para todo v sobre a reta r, tem-se Pv = v. Assim, para qualquerv
∈ R 2 , tem-sePPv = Pv, poisPv está sobrer. Noutras palavras,
vale PP = P, ou seja PP = PI, embora P ≠ I. Assim, não é permitido
cortar o fator P à esquerda em ambos os membros da igualdade
PP = PI. Segue-se que não existe Q ∈ L(R 2 ) tal que QP = I.
Com efeito, se um tal operador Q existisse, de PP = P concluiríamos
QPP = QP, isto é, IP = I, donde P = I.
Exemplo 5.4. Sejam P,Q: R 2 → R 2 projeções ortogonais sobre duas
retas do plano, uma das quais é perpendicular à outra. Todo vetor
v ∈ R 2 é a diagonal de um retângulo que tem Pv e Qv como lados.
(Veja Fig. 5.1.)
v
Qv
Pv
Figura 5.1.
Segue-se então quev = Pv+Qv para todov ∈ R 2 , ou seja,P+Q = I
e Q = I−P. Portanto PQ = P(I−P) = P −P 2 = P −P = 0. Obtemos
assim dois operadores não-nulosP,QcomPQ = 0. É possível mesmo
que um operador não-nulo A ∈ L(R 2 ) cumpra A 2 = 0. Basta pôr
A(x,y) = (x−y,x−y).
Um operador A chama-se nilpotente quando, para algum n ∈ N,
tem-se A n = 0. Um exemplo significativo de operador nilpotente é a
derivação D: P n → P n . Para todo polinômio p de grau ≤ n tem-se
D n+1 p = 0, logo D n+1 = 0.
Exemplo 5.5. Se R α ,R β : R 2 → R 2 são rotações em torno da origem
com ângulos α e β respectivamente, então R α ·R β = R α+β . (Isto pode