lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 18 Formas Quadráticas 231
quais a função tem um máximo relativo e esse número coincide com
o índice da forma Hessiana, como definiremos a seguir.
O índice de uma forma quadrática ϕ: E → R é a maior dimensão
de um subespaço vetorial de E restrita ao qual a forma é negativa.
Quando ϕ ≥ 0, diremos que o índice de ϕ é zero.
Portanto, o índice da forma quadrática ϕ: E → R é igual ao
número i ≠ 0 quando: 1) Existe um subespaço vetorial F ⊂ E, com
dim F = i, tal que ϕ(v) < 0 para todo vetor não-nulo v ∈ F; 2) Se
G ⊂ E é um subespaço vetorial de dimensão maior do que i, existe
algum vetor não-nulo w ∈ G, tal que ϕ(w) ≥ 0.
Se dim E = m então toda forma quadrática negativa ϕ: E → R
tem índice m.
Assim definido, o índice de uma forma quadrática é uma noção
intrínseca, independente de escolhas ou construções arbitrárias.
Outro invariante numérico associado a uma forma quadrática
ϕ: E → R é o seu posto. Seja b: E×E → R a (única) forma bilinear
simétrica tal que ϕ(v) = b(v,v) para todo v ∈ E. Escolhendo uma
base V = {v 1 ,...,v m } ⊂ E e pondo b ij = b(v i ,v j ), i,j = 1,...,m,
sabemos que, para todo vetor
v = ∑ x i v i , tem-se
ϕ(v) = ∑ i,j
b ij x i x j .
Por definição, o posto de ϕ é o posto da matriz b = [b ij ] ∈ M(m×m).
Para provar que o posto de ϕ, definido desta maneira, não depende
da base escolhida, observemos que se tomarmos outra base
V ′ = {v ′ 1 ,...,v′ m} ⊂ E a forma ϕ será representada pela matriz b ′ =
p T bp, onde p ∈ M(m × m) é a matriz de passagem de V para V ′ .
Como p e p T são invertíveis, é claro que b e b ′ = p T bp têm o mesmo
posto.
Em particular, se existir uma base V = {v 1 ,...,v m } ⊂ E tal que
ϕ(v) = λ 1 x 2 1 +···+λ rx 2 r (com λ 1 ≠ 0,...,λ r ≠ 0)
para todo v = Σx i v i , então a matriz de ϕ na base V tem λ 1 ,...,λ r
na diagonal e os demais elementos iguais a zero, logo o posto de ϕ,
igual ao posto desta matriz, é r.
Se E tem um produto interno e ϕ(v) = 〈v,Bv〉 então o posto
da forma quadrática ϕ é igual ao posto do operador auto-adjunto
B: E → E.