lgebra Linear, Elon Lages Lima

104 Eliminação Seção 9
como antes, de modo a obter uma matriz cuja primeira coluna nãonula
começa com elemento ≠ 0 mas todos os demais são iguais a
zero. A partir daí não se mexe mais na primeira linha. Recomeça-se
o processo, trabalhando com as linhas a partir da segunda, até obter
uma matriz escalonada.
Exemplo 9.3. Sejam os vetores
v 1 = (1,2,3,4),
v 2 = (5,6,7,8) e
v 3 = (9,10,11,12)
em R 4 . Indicamos abaixo a seqüência de operações elementares efetuadas
sobre a matriz cujas linhas são estes vetores, conduzindo a
uma matriz escalonada
⎡ ⎤
1 2 3 4
⎣5 6 7 8
9 10 11 12
⎡
⎦ L 2−5L
−→
1
L 3 −9L 1
L 3 −2L 2
1 2 3 4
⎣
0 −4 −8 −12
0 −8 −16 −24
⎡ ⎤
1 2 3 4
−→ ⎣0 −4 −8 −12⎦ .
0 0 0 0
⎤
⎦ L 3−2L 2
−→
Como a matriz escalonada final tem duas linhas diferentes de zero,
os três vetores dados geram um subespaço vetorial de dimensão 2
em R 4 e w 1 = (1,2,3,4), w 2 = (0,−4,−8,−12) formam uma base
desse subespaço.
No exemplo acima, como nos seguintes, a notação L i +αL j significa
que a matriz à direita foi obtida da matriz à esquerda somandose
à i-ésima linha o múltiplo αL j da j-ésima linha. Analogamente,
usaremos a notação L i ↔ L j para indicar a troca da linha i pela linha
j.
Exemplo 9.4. Consideremos os vetores v 1 = (0,1,2,3), v 2 = (2,1,
3,0), v 3 = (3,4,2,0) e v 4 = (4,2,0,1) em R 4 . Indicamos abaixo a
seqüência de operações elementares efetuadas sobre a matriz que