lgebra Linear, Elon Lages Lima

182 Operadores Ortogonais Seção 14
base ortonormal deErelativamente à qual a matriz deAtem a forma
⎡
1
⎢
⎣
. ..
1
−1
⎤
. .. −1
,
cos α 1 − sen α 1
sen α 1 cos α 1
. .. ⎥
cos α k − sen α k
⎦
sen α k cos α k
onde os termos não aludidos são iguais a zero.
Demonstração: Os conjuntos F 1 = {v ∈ E;Av = v} e F 2 = {v ∈
E;Av = −v} são subespaços vetoriais invariantes por A, com F 1 ∩
F 2 = {0}. Logo F = F 1 ⊕ F 2 também é um subespaço invariante por
A, o mesmo acontecendo com o complemento ortogonal F ⊥ . Seja
{u 1 ,...,u r } ⊂ F uma base ortonormal cujos primeiros vetores formam
uma base de F 1 e os restantes uma base de F 2 . Nenhum subespaço
de dimensão 1 em F ⊥ é invariante por A, logo existe um
subespaço invariante G ⊂ F ⊥ de dimensão 2. Seja {v 1 ,w 1 } ⊂ G uma
base ortonormal. Como vimos acima, tem-se Av 1 = cos α 1 · v 1 +
sen α 1 · w 1 , Aw 1 = − sen α 1 · v 1 + cos α 1 · w 1 . Novamente, o complemento
ortogonal de G em F ⊥ é um subespaço invariante por A,
que não possui autovetores, logo contém um subespaço invariante
de dimensão 2. Prosseguindo analogamente, chegaremos a uma
base ortonormal {v 1 ,w 1 ,...,v k ,w k } ⊂ F ⊥ tal que Av i = cos α i v i +
sen α i v i e Aw i = − sen α i v i + cos α i w i para i = 1,...,k. Então
{u 1 ,...,u r ,v 1 ,w 1 ,..., v k ,w k } ⊂ E é uma base ortonormal, relativamente
à qual a matriz de A tem a forma desejada.
Observação. A matriz a que se refere o Teorema 14.3 pode não
possuir elementos iguais a1, ou a−1, como pode também não conter
nenhum dos blocos2×2, característicos de rotações. Além disso, caso
seja conveniente, cada bloco igual a I 2 ou a −I 2 pode ser substituído