lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 21 Espaços Vetoriais Complexos 295
(e) O operador de derivação D: P n → P n .
(f) O operador A: R 2 → R 2 , A(x,y) = (x+2y,2x+y).
(g) Qualquer operador A: R 2 → R 2 .
Em todos estes casos, compare com o polinômio característico.
21.4. Prove que um operador é invertível se, e somente se, o termo
constante do seu polinômio mínimo é ≠ 0.
21.5. Seja p(λ) um polinômio tal que p(A) = 0. Prove que todo
autovalor λ 1 do operador A é raiz do polinômio p(λ). Conclua daí
que toda raiz do polinômio característico p A (λ) é também raiz do
polinômio mínimom A . (A recíproca é evidente porquem A dividep A .)
21.6. Determine o polinômio mínimo do operador dado por Av =
〈v,a〉b.
21.7. Seja A: E → E um operador num espaço vetorial de dimensão
n. Prove: se A k = 0 para algum k > n então A n = 0.
[Sugestão: Teorema 21.3.]
21.8. Prove que um operador é nilpotente (isto é A k = 0 para algum
k ∈ N) se, e somente se, todos os seus autovalores são iguais a zero.
21.9. Se o operador A é diagonalizável e λ 1 ,...,λ k são seus autovalores
distintos dois a dois, prove que o polinômio mínimo de A é
m A = (λ−λ 1 )(λ−λ 2 )···(λ−λ k ).
21.10. Se o operador A: E → E (num espaço vetorial complexo) é
diagonalizável, prove que existe um produto interno hermitiano em
E que torna A normal.
21.11. Seja E um espaço vetorial (complexo) munido de um produto
interno hermitiano. Prove que todo operador linear A: E → E se
escreve, de modo único, como A = H + iK, onde H,K: E → E são
operadores hermitianos e que A é normal se, e somente se, H e K
comutam.