lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 15 Operadores Normais (Caso Real) 191
Teorema 15.1. Seja A: E → E um operador normal. Existe uma
base ortonormal de E na qual a matriz de A tem a forma
⎡
⎤
λ 1 . .. λ r α 1 −β 1
β 1 α 1 . .. ⎢
⎥
⎣
α s −β s
⎦
α s
onde os elementos não expostos são iguais a zero.
Demonstração: Sejam σ 2 0 ,σ2 1 ,...,σ2 k
os autovalores distintos do
operador não-negativo AA ∗ = A ∗ A: E → E, com σ 0 = 0 e σ i > 0
se i ≥ 1. Para cada i = 0,1,...,k, seja E i = N(AA ∗ − σ 2 iI) o autosubespaço
correspondente ao autovalor σ 2 i
. O Teorema Espectral
nos afirma que E = E 0 ⊕ E 1 ⊕ ··· ⊕ E k . Além disso, se u ∈ E i e
v ∈ E j com i ≠ j então 〈u,v〉 = 0. Da igualdade AA ∗ = A ∗ A resulta
imediatamente que cada subespaço E i é invariante por A e por
A ∗ . Ora, por definição, AA ∗ em E i coincide com σ 2 iI. Logo o operador
B i : E i → E i , definido para i = 1,2,...,k por B i v = (1/σ i )Av,
é ortogonal. Tomemos em E 0 uma base ortonormal qualquer. (Observe
que E 0 = N(AA ∗ ) = N(A) = N(A ∗ ).) Tomemos ainda, em
cada subespaço E i (i = 1,...,k) uma base ortonormal na qual a matriz
do operador B i tenha a forma dada no Teorema 14.3. Juntando
todas essas bases e ordenando seus elementos na forma adequada,
obtemos uma base de E na qual a matriz do operador A é do tipo
desejado.
Observações:
1. Os números λ 1 ,...,λ r são os autovalores de A. Dentre eles, os
não-nulos têm a forma λ i = ±σ j , onde σ j é um
√
valor singular de A.
Os demais valores singulares de A são σ j = α 2 j +β2 j
(j = 1,...,s).
2. SeAnão possui autovetores, a matriz do Teorema 15.1 não apresenta
a parte superior (diagonal). Por outro lado, seAéauto-adjunto
não existem os blocos 2×2 da parte inferior.
β s