lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 19 Determinantes 265
19.7. Seja a a matriz quadrada invertível cujas colunas são os vetores
v 1 ,...,v n ∈ R n . Prove que γ(v 1 ,...,v n ) = (det a) 2 e conclua que
o paralelepípedo gerado pelos vetores v 1 ,...,v n tem volume igual a
| det a|.
19.8. Seja A: R n → R n um operador linear invertível. Para todo
paralelepípedo n-dimensional X ⊂ R n , prove que a imagem A(X) é
um paralelepípedo tal que volA(X) = | det A|·volX.
19.9. Calcule o determinante da matriz
⎡ ⎤
0 0 0 a 14
⎢ 0 0 a 23 a 24
⎥
⎣ 0 a 32 a 33 a 34
⎦
a 41 a 42 a 43 a 44
e generalize o resultado para uma matriz [a ij ] ∈ M(n × n) na qual
a ij = 0 quando i+j ≤ n.
19.10. Se a matriz triangular b resulta de a pelo processo gaussiano
de eliminação, prove que det b = (−1) t det a, onde t é o número
de transposições de linhas feitas durante o escalonamento. (Escalonamento
é o modo mais eficaz de calcular o determinante de uma
matriz n×n quando n ≥ 4.)
19.11. Escalonando a matriz de Vandermonde
⎡
⎤
1 1 1 ... 1
x 1 x 2 x 3 ... x n
v =
x 2 1
x 2 2
x 2 3
... x 2 n
⎢
⎥
⎣ . . . . . ⎦
x1 n−1 x2 n−1 x3 n−1 ... xn
n−1
mostre que seu determinante é igual a
Π (x i −x j ),
i>j
logo v é invertível se, e somente se, os númerosx 1 ,x 2 ,...,x n são dois
a dois distintos. Como aplicação, mostre que, dados n + 1 pares de
números (x o ,y o ),...,(x n ,y n ), onde x o