lgebra Linear, Elon Lages Lima

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Espaços Vetoriais
Complexos
Embora a noção de espaço vetorial tenha sentido (e interesse) sobre
um corpo qualquer, neste livro os vetores (pelo menos até agora) vêm
sendo multiplicados apenas por números reais. Esta opção foi feita
por uma série de razões, das quais destacaremos duas. Em primeiro
lugar, ao nos limitarmos aos números reais, não temos que nos preocupar
com as peculiaridades dos vários corpos possíveis o que, num
livro introdutório, traria o risco de focalizar a atenção no acidental.
Assim ficou mais fácil nos concentrarmos em questões realmente essenciais,
sem maior perda de tempo. Em segundo lugar, porque o
caso real é, sem dúvida, o mais importante. Entretanto, o corpo dos
números reais não é algebricamente completo: nem todo polinômio
com coeficientes reais possui raiz real. O corpo dos números complexos
não sofre dessa deficiência. Isto torna necessário que alguns teoremas
referentes a espaços vetoriais reais utilizem números complexos
em sua demonstração (como foi feito, um tanto disfarçadamente,
no Teorema 12.1). Na presente seção, é introduzido o conceito de
espaço vetorial complexo e é mostrado explicitamente como ele pode
ser útil para demonstrar teoremas sobre espaços vetoriais reais.
Nesta seção, os espaços vetoriais que viemos estudando até agora
serão chamados espaços vetoriais reais e as transformações lineares