lgebra Linear, Elon Lages Lima

128 Produto Interno Seção 10
Reciprocamente, fixada uma base{v 1 ,...,v n } num espaço vetorial
E (que pode ser, por exemplo, a base canônica em R n ) e dada uma
matriz simétrica positiva g = [g ij ] ∈ M(n×n), a igualdade (*) acima
define um produto interno em E.
Exercícios
10.1. SejaEum espaço vetorial com produto interno. Para quaisquer
vetores u,v ∈ E, prove que |u|v+|v|u e |u|v−|v|u são ortogonais.
10.2. Seja {u 1 ,...,u n } ⊂ E uma base ortonormal. Prove que, para
∑
v,w ∈ E arbitrários, tem-se 〈v,w〉 = n 〈v,u i 〉〈w,u i 〉.
10.3. Dado o vetor u = (2,3,6), seja P: R 3 → R 3 o operador linear
definido por Pv = pr u (v). Descreva I−2P geometricamente, escreva
a matriz da reflexão H = I−2P e determine o vetor que se obtém de
w = (1,1,1) por reflexão em torno do plano perpendicular a u.
10.4. Considere a base V = {v 1 ,v 2 ,v 3 } ⊂ R 3 , formada pelos vetores
v 1 = (1,1,1), v 2 = (1,−1,1) e v 3 = (1,−1,−1). Determine a matriz
de passagem p, de V para a base ortonormal U = {u 1 ,u 2 ,u 3 }, obtida
de V pelo método de Gram-Schmidt. Observe que os elementos da
diagonal de p são números positivos e abaixo da diagonal todos são
nulos. Generalize.
10.5. Seja V = {v 1 ,...,v n } ⊂ R n uma base, com v j = (α 1j ,α 2j ,...,
...,α nj ), j = 1,...,n. Seja U a base ortonormal de R n obtida de V
pelo processo de Gram-Schmidt. Prove que U é a base canônica de
R n se, e somente se, α ij = 0 para todo i > j e α ii > 0 para todo
i = 1,...,n.
10.6. Sem fazer cálculo algum, diga quais são as bases obtidas de
V = {v 1 ,v 2 ,v 3 } pelo processo de Gram-Schmidt nos seguintes casos:
i=1
(a) v 1 = (3,0,0), v 2 = (−1,3,0), v 3 = (2,−5,1);
(b) v 1 = (−1,1,0), v 2 = (5,0,0), v 3 = (2,−2,3).
10.7. Dado o vetor unitário u = (α 1 ,...,α n ) ∈ R n , forme a matriz
a = [α i · α j ] ∈ M(n × n). Seja H: R n → R n o operador cuja matriz