lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 11 A Adjunta 137
Analogamente, uma matriz quadrada a é invertível se, e somente
se, sua transposta a T é invertível e, no caso afirmativo, (a T ) −1 =
(a −1 ) T .
As noções de retas e planos perpendiculares da Geometria Elementar
se estendem em Álgebra Linear ao conceito de complemento
ortogonal, o qual ajuda a entender as relações entre uma transformação
linear e sua adjunta.
Seja E um espaço vetorial com produto interno. O complemento
ortogonal de um conjunto não-vazio X ⊂ E é o conjunto X ⊥ formado
pelos vetores v ∈ E que são ortogonais a todos os vetores x ∈ X.
Portanto
v ∈ X ⊥ ⇔ 〈v,x〉 = 0 para todo x ∈ X.
• Dado X ⊂ E, temos 〈0,x〉 = 0 para todo x ∈ X, logo 0 ∈ X ⊥ .
• Se v ∈ X ⊥ e α ∈ R então 〈αv,x〉 = α〈v,x〉 = 0 para todo x ∈ X,
portanto αv ∈ X ⊥ .
• Se u ∈ X ⊥ e v ∈ X ⊥ então, para todo x ∈ X, tem-se 〈u+v,x〉 =
〈u,x〉+〈v,x〉 = 0, logo u+v ∈ X ⊥ .
Segue-se das três observações acima que o complemento ortogonal
de qualquer conjunto não-vazio X ⊂ E é um subespaço vetorial
de E.
Evidentemente, X ⊂ Y ⇒ Y ⊥ ⊂ X ⊥ e v ∈ X∩X ⊥ ⇒ v = 0.
Além disso, se v é ortogonal aos vetores x 1 ,...,x m então v é ortogonal
a qualquer combinação linear Σα i x i , pois
〈v, ∑ α i x i
〉
= ∑ α i 〈v,x i 〉 = 0.
Daí resulta que o complemento ortogonal X ⊥ do conjunto X coincide
com o complemento ortogonal S(X) ⊥ do subespaço vetorial S(X), gerado
por X.
Exemplo 11.1. Tem-se {0} ⊥ = E e E ⊥ = {0}. Se F ⊂ R n é o subespaço
vetorial gerado pelo vetor não nulo v = (a 1 ,...,a n ) (reta que passa
pela origem), o complemento ortogonal F ⊥ é o hiperplano definido
pela equação a 1 x 1 +···+a n x n = 0.
Teorema 11.3. Seja E um espaço vetorial de dimensão finita, munido
de produto interno. Para todo subespaço vetorial F ⊂ E tem-se a
decomposição em soma direta E = F⊕F ⊥ .