lgebra Linear, Elon Lages Lima

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Transformações Lineares
A Álgebra Linear pode ser apresentada sob três pontos de vista equivalentes:
transformações lineares, matrizes ou formas quadráticas.
A ênfase (ou até mesmo a exclusividade) que se dá a uma dessas
abordagens é muitas vezes uma questão de hábito, gosto pessoal ou
convicção. Neste livro, os três aspectos serão devidamente tratados
porém a primazia será concedida às transformações lineares, pelos
três motivos apontados, principalmente o último.
SejamE,Fespaços vetoriais. Uma transformação linearA: E → F
é uma correspondência que associa a cada vetor v ∈ E um vetor
A(v) = A·v = Av ∈ F de modo que valham, para quaisquer u,v ∈ E
e α ∈ R, as relações:
A(u+v) = Au+Av,
A(α·v) = α·Av.
O vetorA·v chama-se a imagem (ou o transformado) devpela transformação
A.
Se A: E → F é uma transformação linear então A · 0 = 0. Com
efeito, A · 0 = A(0 + 0) = A · 0 + A · 0. Além disso, dados u,v ∈ E e
α,β ∈ R, tem-se A(αu+βv) = A(αu)+A(βv) = α·Au+β·Av. Mais
geralmente, dados v 1 ,...,v m em E e α 1 ,...,α m ∈ R, vale
A(α 1 v 1 +···+α m v m ) = α 1 ·Av 1 +···+α m ·Av m .
Daí resultam A(−v) = −Av e A(u−v) = Au−Av.