lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 10 Produto Interno 125
dois a dois ortogonais, gerando o subespaço F m , o mesmo que é gerado
por v 1 ,...,v m . Definimos w m+1 pondo
m∑ 〈w i ,v m+1 〉
w m+1 = v m+1 − w i .
〈w i ,w i 〉
i=1
Figura 10.4. w 3 = v 3 −z 3 , z 3 = 〈w 1,v 3 〉
〈w 1 ,w 1 〉 w 1 + 〈w 2,v 3 〉
〈w 2 ,w 2 〉 w 2.
Um cálculo simples mostra que w m+1 é ortogonal a w 1 ,...,w m .
Além disso, w m+1 ≠ 0 porque v m+1 não pertence ao subespaço F m
gerado por w 1 ,...,w m (ou por v 1 ,...,v m ). E, finalmente, w m+1 pertence
ao subespaço gerado por {w 1 ,...,w m ,v m+1 }, o qual é igual a
F m+1 . Isto completa o processo.
Observamos que se os primeiros m vetores da base {v 1 ,...,v n } ⊂
E já formarem uma base ortonormal do subespaço por eles gerado
então o processo de Gram-Schmidt transforma essa base numa base
ortonormal {u 1 ,...,u n } ⊂ E na qual u 1 = v 1 ,...,u m = v m .
Segue-se daí que, dado um subespaço vetorial F ⊂ E, toda base
ortonormal de F estende-se a uma base ortonormal de E: basta estendê-la
a uma base qualquer de E e depois ortonormalizar esta
última por Gram-Schmidt.
O significado geométrico do processo de Gram-Schmidt é bastante
simples e fica ilustrado na figura: se {w 1 ,...,w m } ⊂ F é uma
base ortogonal então, para todo v ∈ E, o vetor
z =
m∑
i=1
〈w i ,v〉
〈w i ,w i 〉 w i ∈ F,