lgebra Linear, Elon Lages Lima

46 Transformações Lineares Seção 4
do espaço de funções E = C o ([a,b]), podemos definir um operador
linear K: E → E do seguinte modo: fixamos uma função contínua
k: [a,b] × [a,b] → R, de duas variáveis, e fazemos corresponder a
cada f ∈ E a função g = Kf ∈ E dada por
g(x) =
∫ b
a
k(x,y)f(y)dy.
Finalmente, temos o importante operador de derivação D: C ∞ (R) →
C ∞ (R), definido por Df = f ′ = derivada de f. Ele também pode ser
considerado, de forma mais restrita, como um operadorD: P n → P n ,
onde ( n
)
∑ n∑
D a i x i = ia i x i−1 ,
i=0
ou, de forma mais ampla, como uma transformação linear
D: C k (R)→ C k−1 (R), para k > 0.
i=1
Exercícios
4.1. Prove que se A,B: E → F são transformações lineares e α é
um número real então A+B e αA, conforme definidas no texto, são
transformações lineares.
4.2. Sejam R,P,S: R 2 → R 2 respectivamente a rotação de 30 ◦ em
torno da origem, a projeção ortogonal sobre a reta y = x/3 e a reflexão
em torno da mesma reta. Dado o vetor v = (2,5), determine
os vetores Rv, Pv e Sv.
4.3. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):
É dada uma transformação linear A: E → F.
( ) Se v ∈ E é tal que Av = 0 então v = 0.
( ) Se Aw = Au+Av então w = u+v.
( ) Se v é combinação linear de u 1 ,...,u m então Av é combinação
linear de Au 1 ,...,Au m .
( ) Seu,v,w ∈ E são colineares (isto é, pertencentes a uma mesma
reta) então Au, Av e Aw são colineares.