lgebra Linear, Elon Lages Lima

Apêndice A Forma Canônica de Jordan 333
Um operador D: E → E chama-se diagonalizável quando existe
alguma base de E na qual a matriz de D é diagonal. Isto equivale
a dizer que a referida base de E é formada por auto-vetores do
operador D.
Assim, acabamos de mostrar que, num espaço vetorial complexo
de dimensão finita, todo operador A: E → E pode escrever-se como
soma A = N+D de um operador nilpotente com um diagonalizável.
Na notação do Teorema A2.3,Néooperador cuja restrição a cada
subespaçoE i coincide comA−λ i I, enquantoDrestrito a cada um dos
E i ’s é igual a λ i I. Como A−λ i I e λ i I comutam para todo i = 1,...,r,
segue-se que ND = DN.
Provaremos a seguir que esta é a única maneira de se escrever
A = N+D com N nilpotente, D diagonalizável e ND = DN.
Para maior clareza, destacaremos sob a forma de lemas dois fatos
elementares que usaremos na demonstração dessa unicidade.
Lema 1. A restrição de um operador diagonalizável D: E → E a
um subespaço invariante F ⊂ E é ainda um operador diagonalizável
D: F → F.
Demonstração: Seja V ⊂ E uma base formada por auto-vetores de
D. Introduzimos em E um produto interno hermitiano, impondo que
a base V seja ortonormal. Relativamente a esse produto interno, D
é normal. Portanto a restrição D: F → F é um operador hermitiano,
logo diagonalizável. (V. Exercício 15.19).
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Lema 2. A soma de dois operadores nilpotentes que comutam é
ainda um operador nilpotente.
Demonstração: Sejam M,N: E → E com M p = 0, N q = 0 e MN =
NM. Esta comutatividade assegura que vale o binômio de Newton:
∑p+q
( ) p+q
(M+N) p+q = M i N p+q−i .
i
i=0
No somatório acima, as parcelas com i ≥ p são nulas porque, neste
caso, M i = 0. Se, entretanto, tem-se i < p então p + q − i > q,
logo N p+q−i = 0. Assim as parcelas com i < p também são nulas e
concluímos que (M+N) p+q = 0.
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