lgebra Linear, Elon Lages Lima

252 Determinantes Seção 19
Isto define o determinante de um operador de modo intrínseco,
sem recurso a bases ou matrizes. A seguir mostraremos como obter,
a partir desta definição, as formas clássicas de apresentar o determinante.
De imediato, veremos como é fácil provar duas propriedades
cruciais do determinante.
Teorema 19.5. Se A,B: E → E são operadores lineares então
det(BA) = det B·det A.
Demonstração: Sejam {v 1 ,...,v n } ⊂ E uma base e 0 ≠ f ∈ A n (E),
logo f(v 1 ,...,v n ) ≠ 0. Então
det(BA).f(v 1 ,...,v n ) = f(BAv 1 ,...,BAv n )
portanto det(BA) = det B·det A.
= det B.f(Av 1 ,...,Av n )
= det B. det A.f(v 1 ,...,v n ),
Corolário. Se A: E→E é um operador não-negativo então det A≥0.
Com efeito, existe B: E→E tal que A=B 2 , logo det A=(det B) 2 ≥0.
O teorema abaixo mostra que det A > 0 quando A é positivo.
Teorema 19.6. O operador linearA: E → E é invertível se, e somente
se, det A ≠ 0. No caso afirmativo, tem-se det(A −1 ) = (det A) −1 .
Demonstração: Se existe A −1 , então de AA −1 = I resulta
det A. det(A −1 ) = det(AA −1 ) = det I = 1,
logo det A ≠ 0 e det(A −1 ) = (det A) −1 . Reciprocamente, se det A ≠
0 então, tomando uma base {v 1 ,...,v n } ⊂ E e uma forma n-linear
alternada não-nula f: E×···×E → R temos
f(Av 1 ,...,Av n ) = det A.f(v 1 ,...,v n ) ≠ 0,
logo, pelo Corolário 1 do Teorema 19.3, os vetores Av 1 ,...,Av n constituem
uma base de E. Assim, A é invertível.
Corolário. O sistema de equações lineares Ax = b, com A ∈ L(R n ),
possui uma única solução se, e somente se, det A ≠ 0.