lgebra Linear, Elon Lages Lima

290 Espaços Vetoriais Complexos Seção 21
Demonstração: Seja a ∈ M(n×n) a matriz de A relativamente a
uma certa base de E. Então p a (a) = 0. Como p a (a) é a matriz do
operador p A (A) nessa mesma base, segue-se que p A (A) = 0.
Continuemos apresentando conseqüências do Teorema 21.3.
Sejam a = [a kj ], b = [b kj ] matrizes n×n triangulares superiores,
de modo que a kj = b kj = 0 se k > j. O j-ésimo elemento da diagonal
do produto ab é(ab) jj = ∑ a jr b rj = a jj b jj poisa jr = 0 sej > r eb rj = 0
r
se j < r. Segue-se imediatamente que os elementos da diagonal de
a m têm a formaa m jj
. Daí resulta, mais geralmente, sep(λ) é qualquer
polinômio entãop(a) é uma matriz triangular superior cuja diagonal
é formada pelos números p(a jj ), onde a jj percorre a diagonal de a.
Se A: E → E é um operador C-linear, suas raízes características,
ou seja, seus autovalores, são (contando multiplicidades) os elementos
da diagonal de uma matriz triangular que representa A relativamente
a uma base conveniente de E. Segue-se do que foi dito
acima que, se p(λ) é qualquer polinômio, os autovalores do operador
p(A), incluindo suas multiplicidades algébricas, são os números
p(λ j ), onde λ 1 ,...,λ n são os autovalores de A.
Um caso particular interessante é o de um operador nilpotente
A: E → E. Isto significa, como se sabe, que existe um inteiro m > 0
tal queA m = 0. Neste caso, sen = dim E afirmamos que o polinômio
característico de A é p A (λ) = (−1) n λ n .
Consideremos inicialmente o caso em que A é C-linear. Seja U ⊂
E uma base relativamente à qual a matriz a = [a kj ] do operador
A é triangular superior. Os elementos a jj da diagonal de a são os
autovalores de A, contados com suas multiplicidades. O polinômio
característico de A é portanto
p A (λ) = n Π
j=1
(a jj −λ).
Os elementos da diagonal de a m são a m jj , j = 1,...,n. Como am = 0,
segue-se que todos osa jj são nulos, logo o polinômio característico de
A é p A (λ) = (−1) n λ n .
Do ponto de vista matricial, podemos afirmar que se a é uma
matriz n × n (real ou complexa, tanto faz) com a m = 0 para algum
m inteiro > 0 então seu polinômio característico é p a (λ) = (−1) n λ n .
Daí resulta que, dado o operadorR-linearA: E → E no espaço vetorial
real E, com dim E = n, se tivermos A m = 0 para algum inteiro