lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 21 Espaços Vetoriais Complexos 291
m > 0 então o polinômio característico de A é p A (λ) = (−1) n λ n . Com
efeito, este é o polinômio característico da matriz a do operador A
numa base qualquer de E, a qual cumpre a m = 0.
Em seguida, usaremos a forma triangular para provar que o determinante
do operador A r : E → E, descomplexificado de um operador
C-linear A: E → E, é sempre ≥ 0.
Com efeito, seja U = {u 1 ,...,u n } ⊂ E uma base na qual a matriz
m = [a kj + ib kj ] de A é triangular superior: a kj = b kj = 0 se k > j.
Para todo j = 1,...,n, temos
Au j =
n∑
(a kj +ib kj )u k .
k=1
Consideremos agora a base U ′ = {u 1 ,iu 1 ,...,u n ,iu n } do espaço vetorial
real E. Para obter a matriz c do descomplexificado A r : E → E na
base U ′ , observamos que
A r ·u j = ∑ k
(a kj u j +b kj ·iu j ) e A r ·iu j = ∑ k
(−b kj u j +a kj ·iu j ).
Daí resulta que a matriz c tem uma forma “triangular por blocos”.
Mostramos abaixo esta matriz no caso n = 3:
⎡
⎤
a 11 −b 11 a 12 −b 12 a 13 −b 13
b 11 a 11 b 12 a 12 b 13 a 13
c =
0 0 a 22 −b 22 a 23 −b 23
⎢ 0 0 b 22 a 22 b 23 a 23
.
⎥
⎣ 0 0 0 0 a 33 −b 33
⎦
0 0 0 0 b 33 a 33
Segue-se imediatamente do Teorema 19.8 que o determinante da
matriz c é dado por:
det c =
n∏
j=1
[ ]
ajj −b
det jj
=
b jj a jj
n∏
(a 2 jj +b2 jj ). (*)
Sendo a matriz m = [a kj +ib kj ] triangular, os números complexos
λ j = a jj +ib jj são seus autovalores e det m = ∏ λ j . Por outro lado, a
igualdade (*) mostra que det c = ∏ |λ j | 2 .
j=1