lgebra Linear, Elon Lages Lima

22 Subespaços Seção 2
2.35. Sejam E, F espaços vetoriais. Uma função f: E → F chama-se
par (respect. ímpar) quando f(−v) = f(v) (respect. f(−v) = −f(v))
para todo v ∈ E. Prove:
(a) O conjunto A das funções pares e o conjunto B das funções ímpares
são subespaços vetoriais de F(E;F) (vide Exerc. 1.15) e vale
F(E;F) = A⊕B.
(b) Além dos conjuntos A, dos polinômios pares, e B, dos polinômios
ímpares, considere também o conjunto A ′ dos polinômios da forma
p(x) = Σa i x 2i que só contêm expoentes pares e o conjunto B ′ dos polinômios
da forma q(x)=Σa i x 2i+1 , que só contêm expoentes ímpares.
Prove que A ′ e B ′ são subespaços vetoriais do espaço P de todos os
polinômios, que A ′ ⊂ A, B ′ ⊂ B e P = A ′ ⊕B ′ . Conclua que A = A ′ e
B = B ′ .
2.36. Para todo n ∈ N seja Q n o conjunto dos polinômios (de graus
arbitrários) que são divisíveis por x n . Prove que Q n é um subespaço
vetorial de P. Ache um subespaço F ⊂ P tal que P = F⊕Q n .
2.37. Dado X ⊂ E, seja Y o conjunto obtido de X substituindo um
dos seus elementos v por v + αu, onde u ∈ X e α ∈ R. Prove que
X e Y geram o mesmo subespaço vetorial de E. Conclua daí que os
conjuntos{v 1 ,...,v k } ⊂ E e{v 1 ,v 2 −v 1 ,...,v k −v 1 } ⊂ E geram o mesmo
subespaço vetorial de E.
2.38. Prove que a reunião de três subespaços vetoriais só pode ser
um subespaço vetorial quando um deles contém os outros dois.
2.39. Sejam F 1 , F 2 subespaços vetoriais de E. Se existir algum a ∈ E
tal que a+F 1 ⊂ F 2 , prove que F 1 ⊂ F 2 .
2.40. Seja V ⊂ E uma variedade afim. Dados v 1 ,...,v m ∈ V e
α 1 ,...,α m ∈ R comα 1 +···+α m = 1, prove queα 1 v 1 +···+α m v m ∈ V.
2.41. Para todo subespaço vetorial F ⊂ R n , prove que existe um
subespaço G ⊂ R n tal que R n = F⊕G.
2.42. Verdadeiro ou falso? Para quaisquer subconjuntos X,Y ⊂ E
tem-se
S(X∪Y) = S(X)+S(Y),
S(X∩Y) = S(X)∩S(Y).