lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 10 Produto Interno 131
torno do núcleo de P. (A matriz de H é conhecida como uma matriz
de Householder.)
10.26. Seja a um vetor não-nulo no espaço vetorial E, de dimensão
n, munido de produto interno. Para todob ∈ R, prove que o conjunto
V = {v ∈ E;〈v,a〉 = b} é uma variedade afim de dimensãon−1. Dado
v o ∈ V, mostre que v ∈ V se, e somente se, v−v o é ortogonal a a.
10.27. Sejam u = (x 1 ,x 2 ,x 3 ) e v = (y 1 ,y 2 ,y 3 ) vetores em R 3 . O
produto vetorial de u por v é definido como o vetor
u×v = (x 2 y 3 −x 3 y 2 ,x 3 y 1 −x 1 y 3 ,x 1 y 2 −x 2 y 1 ).
Prove que valem as seguintes propriedades:
(a) u×v = −v×u;
(b) u×(v+v ′ ) = u×v+u×v ′ ;
(c) u×(αv) = α(u×v);
(d) u×v = 0 se, e somente se, u e v são L.D.;
(e) u×v é ortogonal a u e a v;
(f) e 1 ×e 2 = e 3 , e 2 ×e 3 = e 1 , e 3 ×e 1 = e 2 .
[Mais detalhes sobre o produto vetorial no livro “Coordenadas no
Espaço”, do autor, publicado pela Soc. Bras. de Mat.]
10.28. Seja r = {(1−t)u+tv;t ∈ R} a reta que liga u a v em E, com
u ≠ v. Dado w ∈ E, prove que, tomando t = 〈w−u,v−u〉/|v − u| 2
obtém-se o ponto x = (1−t)u+tv de r mais próximo possível de w,
ou seja, tem-se |x−w| < |y−w| para qualquer outro ponto y ∈ r.
10.29. Seja U = {u 1 ,...,u n } ⊂ E uma base no espaço vetorial E,
munido de produto interno. Suponha que, para todo v = x 1 u 1 +
··· + x n u n ∈ E se tenha |v| 2 = x 2 1 + ··· + x2 n. Prove que a base U é
ortonormal.
10.30. Complete os detalhes do seguinte argumento que prova a
existência de uma base ortonormal em qualquer espaço vetorial E,
de dimensão n, com produto interno: “Seja U = {u 1 ,...,u r } ⊂ E