lgebra Linear, Elon Lages Lima

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Seção 5 Produto de Transformações <strong>Linear</strong>es 57 5.23. Seja X: E → F uma transformação linear com a seguinte propriedade: para cadaw ∈ F existe (pelo menos) um vetorv ∈ E tal que Xv = w. Suponha que A,B ∈ L(F;G) cumprem a igualdade AX = BX. Prove que A = B. 5.24. Sejam A,B: E → F transformações lineares tais que, para todo operador linear X: F → F, tem-se XA=XB. Prove que A=B.
6 Núcleo e Imagem Nesta seção, será examinada com cuidado a possibilidade de uma transformação linear admitir ou não uma inversa. Veremos que isto está associado à existência e à unicidade da solução de um sistema de equações lineares. Será introduzido o conceito de isomorfismo, que dará um sentido preciso à afirmação de que dois espaços vetoriais de mesma dimensão são algebricamente indistinguíveis. Tudo começa com o núcleo e a imagem de uma transformação. A toda transformação linear A: E → F estão associados dois subespaços vetoriais indispensáveis para estudar o comportamento de A: o núcleo de A, que é um subespaço de E, e a imagem de A, que é um subespaço de F. A imagem de A é o subconjunto Im(A) ⊂ F, formado por todos os vetores w = Av ∈ F que são imagens de elementos de E pela transformação A. A noção de imagem tem sentido seja qual for a função A: E → F, seja linear ou não. Quando A é linear, então Im(A) é um subespaço vetorial de F, como se vê facilmente. Se Im(A) = F, diz-se que a transformação A é sobrejetiva. Isto significa que, para qualquer w ∈ F dado, pode-se achar v ∈ E tal que A·v = w. Seja X ⊂ E um conjunto de geradores do espaço vetorial E. A imagem da transformação linear A: E → F é o subespaço vetorial de F gerado pelos vetores Av, v ∈ X. Em particular, A é sobrejetiva se, e somente se, transforma X num conjunto de geradores de F.
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